Question

双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，坐标原点到直线AB的距离为

3

2

，其中A（0，-b），B（a，0）．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）设F是双曲线的右焦点，直线l过点F且与双曲线的右支交于不同的两点P、Q，点M为线段PQ的中点．若点M在直线x=-2上的射影为N，满足

PN

•

QN

=0，且|

PQ

|=10，求直线l的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知条件得

c a =2 ab a2+b2 = 3 2 a2+b2=c2

，由此能求出双曲线方程．
（2）当直线l⊥x轴时，|

PQ

|=6，不合题意，当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x-2），由

x2- y2 3 =1，x＞0 y=k(x-2)

，得（3-k²）x²+4k²x-4k²-3=0，由此利用韦达定理、根的判别式结合已知条件能求出直线l的方程．

解答： 解：（1）∵双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，
坐标原点到直线AB的距离为

3

2

，
∴

c a =2 ab a2+b2 = 3 2 a2+b2=c2

，解得a=1，b=

3

，c=2，
∴双曲线方程为x2-

y2

3

=1．
（2）当直线l⊥x轴时，|

PQ

|=6，不合题意，
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x-2），
由

x2- y2 3 =1，x＞0 y=k(x-2)

，消去y得（3-k²）x²+4k²x-4k²-3=0，①
∵直线与双曲线有右支交于不同两点，∴3-k²≠0，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），M（x₀，y₀），
则x₁，x₂是方程①的两个正根，
∴

x1+x2= 4k2 k2-3 ＞0 x1x2= 4k2+3 k2-3 △=(4k2)2-4(3-k2)(-4k2-3)＞0

，
解得k²＞3．②
∵

PN

•

QN

=0，则PN⊥QN，又M为PQ的中点，|

PQ

|=10，
∴|PM|=|MN|=|MQ|=

1

2

|PQ|=5．又|MN|=x₀+2=5，
∴x₀=3，而x₀=

x1+x2

2

=

2k2

k2-3

=3，∴k²=9，解得k=±3．
∵k=±3满足②式，∴k=±3符合题意． 
∴直线l的方程为y=±3（x-2）．
即3x-y-6=0或3x+y-6=0．

点评：本题考查双曲线方程的求法，考查直线方程的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．