Question

如图，已知F₁、F₂为椭圆

x2

2

+y²=1的两焦点，M是椭圆上一点，延长F₁M到N，P是NF₂上一点，且满足

F2N

=2

F2P

，

MP

•

F2N

=0，点N的轨迹为E．
（1）求曲线E的方程；
（2）过F₁的直线l交椭圆于G，交于曲线E于H，（G、H都在x轴的上方），若

F1H

=2

F1G

，求直线l的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知条件得F₁（-1，0），|MN|=|MF₂|，|NF₁|=|MN|+|MF₁|=|MF₂|+|MF₁|=2

2

．设N（x，y），则（x+1）²+y²=9，由此能求出曲线E的方程．
（2）由（1）知F1H=2

2

，所以G为线段F₁H的中点，G点的轨迹是以F₁（-1，0）为圆心，

2

为半径的圆的x轴上半部分．由G在椭圆上，求得G（0，1），由此能求出直线l的方程．

解答： 解：（1）∵F₁、F₂为椭圆

x2

2

+y²=1的两焦点，∴F₁（-1，0），…1分
∵

F2N

=2

F2P

，

MP

•

F2N

=0，
∴MP为线段NF₂的垂直平分线，…2分
∴|MN|=|MF₂|．…3分
由椭圆的定义知：|MF₁|+|MF₂|=2

2

，
∴|NF₁|=|MN|+|MF₁|=|MF₂|+|MF₁|=2

2

．
设N（x，y），则（x+1）²+y²=9．…5分
显然M为椭圆左、右端点时不满足

MP

•

F2N

=0．
∴曲线E的方程为（x+1）²+y²=8，（y≠0）．…6分
（2）由（1）知F1H=2

2

．…7分
∵

F1H

=2

F1G

，∴G为线段F₁H的中点．…8分
∴|F₁G|=

1

2

|F1H|=

2

．
∴G点的轨迹是以F₁（-1，0）为圆心，

2

为半径的圆的x轴上半部分．
∴G点的轨迹方程是（x+1）²+y²=2（y＞0）．…10分
又∵G在椭圆上：

x2

2

+y2=1，
由

(x+1)2+y2=2，(y＞0) x2+2y2=2

，解得

x=0 y=1

，
∴G（0，1），∴所求的直线方程为：y=x+1．…12分

点评：本题考查曲线方程的求法，考查直线方程的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．