Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上．
（1）求证：AD⊥PC；
（2）求证：平面AEC⊥平面PDB．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,空间中直线与直线之间的位置关系

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）由线面垂直得到PD⊥AD，由正方形性质得到AD⊥CD，所以AD⊥平面PCD，由此能证明AD⊥PC．
（2）由线面垂直得到PD⊥AC，由正方形性质得到BD⊥AC，所以AC⊥平面PDB，由此能证明平面AEC⊥平面PDB．

解答： （本小题满分12分）
证明：（1）因为PD⊥平面ABCD，AD?平面ABCD，
所以PD⊥AD．（1分）
因为四边形ABCD是正方形，所以AD⊥CD．（2分）
又PD?平面PCD，CD?平面PCD，且PD∩CD=D，（3分）
所以AD⊥平面PCD．（4分）
又PC?平面PCD，故AD⊥PC．（6分）
（2）因为PD⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，所以PD⊥AC．（7分）
因为四边形ABCD是正方形，所以BD⊥AC．（8分）
又PD?平面PDB，BD?平面PDB，且PD∩BD=D，（9分）
所以AC⊥平面PDB．（10分）
又AC?平面AEC，故平面AEC⊥平面PDB．（12分）

点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查平面与平面垂直的证明，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．