Question

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁A⊥底面ABC，AC=AB=AA₁=4，∠BAC=90°，点D是棱B₁C₁的中点．
（Ⅰ）求证：A₁D⊥平面BB₁C₁C；
（Ⅱ）求三棱锥C₁-ADC的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面垂直的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）证明A₁D⊥BB₁，A₁D⊥B₁C₁，利用线面垂直的判定定理，即可证明A₁D⊥平面BB₁C₁C；
（Ⅱ）转换底面，即可求三棱锥C₁-ADC的体积．

解答： （Ⅰ）证明：∵AA₁⊥平面ABC，∴BB₁⊥平面A₁B₁C₁，
又A₁D?平面A₁B₁C₁，∴A₁D⊥BB₁，
又∵A₁B₁=A₁C₁，D为B₁C₁的中点，∴A₁D⊥B₁C₁，
又BB₁∩B₁C₁=B₁，∴A₁D⊥平面BB₁C₁C．…（6分）
（2）解：∵AC=AB=AA₁=4，∠BAC=90°，
∴

B

1

C

1

=4

2

，∴

B

1

D=

A

1

D=2

2

，
∴

V	C   1 -ADC

=

V	B   1 -ADC

=

V	A-CD B   1

=

1

3

S

△CD B   1

•

A

1

D=

16

3

．…（13分）

点评：本题考查线面垂直的判定，考查体积的计算，正确运用线面垂直的判定定理是关键．