Question

如图，已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，M为正方形AA₁D₁D的中心，N为棱AB的中点．
（1）求证：MN∥面BB₁D₁D；
（2）求二面角D₁-MB₁-N的余弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面平行的判定

专题：空间角

分析：（1）根据线面平行的判定定理即可证明MN∥面BB₁D₁D；
（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量法即可求二面角D₁-MB₁-N的余弦值．

解答： 解：（1）连结AD₁，BD₁，易知M∈AD₁，
∵M为正方形AA₁D₁D的中心，
∴M是AD₁的中点，
∴MN∥BD，
∵MN?平面BB₁D₁D，BD₁?平面BB₁D₁D，
∴MN∥面BB₁D₁D；
（2）分别以DA，DC，DD₁所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间坐标系如图，
则D₁（0，0，2），B₁（2，2，2），M（1，0，1），N（2，1，0），
则

D1M

=（1，0，-1），

MB1

=（1，2，1），
设

n

=（x，y，z）是平面D₁MB₁的法向量，
则

D1M • n =x-z=0 MB1 • n =x+2y+z=0

，
令x=1，则y=-1，z=1，则

n

=（1，-1，1），
设

m

=（x，y，z）是平面NMB₁的法向量，
∵

MN

=(1，1，-1)，

MB1

=(1，2，1)，
∴

MN • m =x+y-z=0 MB1 • m =x+2y+z=0

，
令x=3，则y=-2，z=1，则

m

=（3，-2，1），
∴cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m || n |

=

42

7

．
易知二面角D₁-MB₁-N为钝角，
故二面角D₁-MB₁-N的余弦值为-

42

7

．

点评：本题主要考查空间直线和平面平行的判定以及空间二面角的计算，利用向量法是解决本题的关键．空间二面角的基本方法．