Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁A⊥面ABC，∠BAC=90°，E为BC的中点，F为A₁A的中点，A₁A=4，AB=AC=2．
（Ⅰ）求证AE⊥平面 BCC₁；
（Ⅱ）求证AE∥平面BFC₁；
（Ⅲ）在棱AA₁上是否存在点P，使得二面角B-PC₁-C的大小是45°，若存在，求出AP的长．若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定,二面角的平面角及求法

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）以点A为原点建立空间直角坐标系，利用向量法能证明AE⊥平面BCC₁．
（Ⅱ）取BC₁的中点M（1，1，2），则

FM

=(1，1，0)，由

AE

=

FM

，能证明AE∥平面BFC₁．
（Ⅲ）求出平面BPC₁的法向量和平面CPC₁的法向量，利用向量法能求出在棱A₁A上存在点P，使得二面角B-PC₁-C的大小为45°，此时AP=

5

2

．

解答： （Ⅰ）证明：如图，以点A为原点建立空间直角坐标系，
则A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），
C₁（0，2，4），E（1，1，0），F（0，0，2），
∵

AE

=(1，1，0)，

BC

=(-2，2，0)，

CC1

=(0，0，4)，
∴

AE

•

BC

=0，

AE

•

CC1

=0，
∵BC∩CC₁=C，
∴AE⊥平面BCC₁．
（Ⅱ）证明：取BC₁的中点M（1，1，2），则

FM

=(1，1，0)，
由（Ⅰ）可知

AE

=

FM

，即AE∥FM，
∵AE不包含平面BFC₁，FM?平面BFC₁，
∴AE∥平面BFC₁．
（Ⅲ）解：设P（0，0，p），平面BPC₁的法向量

n

=(x，y，z)，
∵

BC1

=(-2，2，4)，

BP

=(-2，0，p)，
∴

BC1 • n =-2x+2y+4z=0 BP • n =-2x+pz=0

，
取z=2，得

n

=(p，p-4，2)，
又

AB

=(2，0，0)是平面CPC₁的法向量，
∵二面角B-PC₁-C的大小是45°，
∴cos45°=cos＜

n

，

AB

＞=

2p

2 p2+(p-4)2+22

=

2

2

，
解得p=

5

2

，
∴在棱A₁A上存在点P，使得二面角B-PC₁-C的大小为45°，此时AP=

5

2

．

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查直线与平面平行的证明，考查满足条件的点是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．