Question

已知中心在坐标原点，以坐标轴为对称轴的椭圆C过点Q（1，

3

2

），且点Q在x轴的射影恰为该椭圆的一个焦点F₁．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）命题：“关于双曲线C的命题为：过双曲线

x2

3

-y²=1的焦点F₁（2，0）作与x轴不垂直的任意直线l交双曲线于A、B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点M，则

|AB|

|F1M|

为定值，且定值是

3

．”命题中涉及了这么几个要素；给定的圆锥曲线E，过该圆锥曲线焦点F的弦AB，AB的垂直平分线试类比上述命题，写出一个关于椭圆C的类似的正确命题，并加以证明：
（Ⅲ）试推广（Ⅱ）中的命题，写出关于圆锥的曲线（椭圆、双曲线、抛物线）的统一的一般性命题（不必证明）．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（I）设椭圆方程为

x2

a2

+

x2

b2

=1，a＞b＞0，由题意知

c=1 1 a2 + 9 4 b2 =1 a2=b2+c2

，由此能求出椭圆C的方程．
（II）关于椭圆C的类似命题为：“过椭圆

x2

4

+

y2

3

=1的一个焦点F作与x轴不垂直的任意直线l交椭圆于A、B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点M，则

|AB|

|FM|

为定值，且定值是4”．
设直线l的方程为y=k（x-1），由

x2 4 + y2 3 =1 y=k(x-1)

得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0．由此利用韦达定理结合已知条件推导出

|AB|

|F1M|

=4．
（III）归纳总结（Ⅱ）的规律，能推广出关于圆锥的曲线（椭圆、双曲线、抛物线）的统一的一般性命题．

解答： 解：（I）∵中心在坐标原点，以坐标轴为对称轴的椭圆C过点Q（1，

3

2

），
且点Q在x轴的射影恰为该椭圆的一个焦点F₁，
∴设椭圆方程为

x2

a2

+

x2

b2

=1，a＞b＞0，
且

c=1 1 a2 + 9 4 b2 =1 a2=b2+c2

，解得a=2，b=

3

，c=1，
∴椭圆C的方程

x2

4

+

y2

3

=1．…（4分）
（II）关于椭圆C的类似命题为：“过椭圆

x2

4

+

y2

3

=1的一个焦点F作与x轴不垂直的任意直线l交椭圆于A、B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点M，则

|AB|

|FM|

为定值，且定值是4”…（6分）
证明如下：
由于l与x轴不垂直，可设直线l的方程为y=k（x-1）
①当k≠0时，由

x2 4 + y2 3 =1 y=k(x-1)

得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0．
依题意l与C有两个交点A、B，所以△＞0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x1+x2=

8k2

3+4k2

，x1x2=

4k2-12

3+4k2

，y1+y2=k(x1+x2-2)=

-6k

3+4k2

，
∴线段AB的中点P的坐标为(

4k2

3+4k2

，

-3k

3+4k2

)，…（8分）
AB的垂直平分线MP的方程为：y+

3k

3+4k2

=-

1

k

(x-

4k2

3+4k2

)．
令y=0，解得x=

k2

3+4k2

，即M(-

k2

3+4k2

，0)，
∴|F1M|=

3(1+k2)

3+4k2

．…（9分）
又|AB|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

(1+k2)(x1-x2)2

=

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

1+k2

•

( 8k2 3+4k2 )2-4(- 4k2-12 3+4k2 )

=

12(1+k2)

3+4k2

，
∴

|AB|

|F1M|

=4．…（10分）
②k=0时，结论成立．
综上所述，结论成立．
（III）过圆锥曲线E的焦点F作与焦点所在的对称轴不垂直的任意直线l交E于A、B两点，线段AB的垂直平分线交焦点所在的对称轴于点M，则

|AB|

|FM|

为定值，定值是

2

e

（共中e为圆锥曲线E的离心率）．…（13分）

点评：本题主要考查了由双曲线的性质求解双曲线的方程，直线与双曲线的相交关系的应用，方程的根与系数关系的应用及弦长公式的求解，解答本题还要求考试具备一定的逻辑推理与运算的能力．