Question

如图，△ABC内接于圆O，AB是圆O的直径，四边形DCBE为平行四边形，DC⊥平面ABC，AB=2，EB=

3

．
（1）求证：DE⊥面ACD平面；
（2）设AC=x，V（x）表示三棱锥B-ACE的体积，求函数V（x）的解析式及最大值．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面垂直的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（1）利用直径所对的圆周角为直角，线面垂直的性质即可证明BC⊥平面ACD，再利用平行四边形的性质BC∥ED，得到ED⊥平面ACD；
（2）利用三棱锥的体积计算公式即可得出表达式，再利用基本不等式的性质即可得出体积的最大值．

解答： （1）证明：∵四边形DCBE为平行四边形，∴CD∥BE，BC∥DE．
∵DC⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴DC⊥BC．
∵AB是圆O的直径，∴BC⊥AC，且DC∩AC=C．
∴BC⊥平面ADC．
∵DE∥BC，∴DE⊥平面ADC；
（2）解：∵DC⊥平面ABC，∴BE⊥平面ABC．
在Rt△ABE中，AB=2，EB=

3

．
在Rt△ABC中，∵AC=x，BC=

4-x2

（0＜x＜2）．
∴S_△ABC=

1

2

AC•BC=

1

2

x•

4-x2

，
∴V（x）=V_E-ABC=

3

6

x•

4-x2

，（0＜x＜2）．
∵x²（4-x²）≤(

x2+4-x2

2

)2=4，当且仅当x²=4-x²，即x=

2

时，取等号，
∴x=

2

时，体积有最大值为

3

3

．

点评：熟练掌握直径所对的圆周角为直角的性质、线面、面面垂直的判定和性质定理、三棱锥的体积计算公式是解题的关键．