Question

如图，已知多面体EABCDF的底面ABCD是边长为2的正方形，EA⊥底面ABCD，FD∥EA，且FD=

1

2

EA=1．
（Ⅰ）求多面体EABCDF的体积；
（Ⅱ）求直线EB与平面ECF所成角的正弦值；
（Ⅲ）记线段BC的中点为K，在平面ABCD内过点K作一条直线与平面ECF平行，要求保留作图痕迹，但不要求证明．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面所成的角

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）连接ED，多面体EABCDF的体积V=V_E-PCD+V_E-ABCD ，只有分别求解两个棱锥的体积即可；
（Ⅱ）以点A为原点，AB所在的直线为x轴，AD所在的直线为y轴，建立空间直角坐标系，求出平面ECF的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求直线EB与平面ECF所成角的正弦值；
（Ⅲ）取线段CD的中点Q；连接KQ，直线KQ即为所求．

解答： 解：（Ⅰ）连接ED，
∵EA⊥底面ABCD，FD∥EA，
∴FD⊥底面ABCD，
∴FD⊥AD，FD∩AD=D，
∴AD⊥平面FDC，
V_E-PCD=

1

3

AD•S_△FDC=

1

3

×

1

2

×1×2×2=

2

3

，
V_E-ABCD=

1

3

EA•S_{正方形ABCD}=

1

3

×2×2×2=

8

3

，
∴多面体EABCDF的体积V=V_E-PCD+V_E-ABCD =

2

3

+

8

3

=

10

3

；--------------（5分）
（Ⅱ）以点A为原点，AB所在的直线为x轴，AD所在的直线为y轴，建立空间直角坐标系，如图．由已知可得A（0，0，0），E（0，0，2），B（2，0，0），C（2，2，0），F（0，2，1），
∴

EC

=（2，2，-2），

EB

=（2，0，-2），

EF

=（0，2，-1）------（7分）

设平面ECF的法向量为

n

=（x，y，z），得：

2x+2y-2z=0 2y-z=0

取y=1，得平面ECF的一个法向量为

n

=（1，1，2）------（9分）
设直线EB与平面ECF所成角为θ，
∴sinθ=|cos＜

n

，

EB

＞|=|

-2

4 3

|=

3

6

----（11分）
（Ⅲ）取线段CD的中点Q；连接KQ，直线KQ即为所求．---------------（12分）
如图所示…（13分）

点评：本小题主要考查直线与直线，直线与平面，平面与平面位置关系等基础知识；考查空间想象能力，推理论证能力和运算求解能力．