Question

如图，已知△SCD中，SD=3，CD=

5

，cos∠SCD=-

1

5

5

，SA=2AD，AB⊥SD交SC于B，M为SB上点，且SM=2MB，将△SAB沿AB折起，使平面SAB⊥平面ABCD

（Ⅰ）求证：AM∥平面SCD；
（Ⅱ）设点N是直线CD上的点，且

DN

=

1

2

NC

，求MN与平面SCD所成角的正弦值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,直线与平面平行的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）以点A为原点建立空间直角坐标系，求出平面SCD的法向量，证明

AM

⊥

n

，即可证明AM∥平面SCD；
（Ⅱ）设MN与平面SCD所成角为α，利用sinα=

| MN • n |

| MN || n |

，即可求出MN与平面SCD所成角的正弦值．

解答： （Ⅰ）证明：以点A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则
A（0，0，0），B（0，1，0），C（2，2，0），D（1，0，0），S（0，0，2），M（0，

2

3

，

2

3

）．
则

AM

=（0，

2

3

，

2

3

），

SD

=（1，0，-2），

CD

=（-1，-2，0）
设平面SCD的法向量是

n

=（x，y，z），则

x-2z=0 -x-2y=0

，令z=1，则x=2，y=-1，于是

n

=（2，-1，1）．
∴

AM

•

n

=0，∴

AM

⊥

n

．
∴AM∥平面SCD．
（Ⅱ）解：∵

DN

=

1

2

NC

，
∴

AN

=

2

3

AD

+

1

3

AC

，
∴N（

4

3

，

2

3

，0），
∴

MN

=（

4

3

，0，-

2

3

），
由（Ⅰ）知平面SCD的法向量

n

=（2，-1，1）．
设MN与平面SCD所成角为α，则
sinα=

| MN • n |

| MN || n |

=

30

10

∴MN与平面SCD所成角的正弦值为

30

10

．

点评：本题考查线面平行，线面角，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，正确求向量是关键．