Question

如图，椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的短轴长为2，点P为上顶点，圆 O：x²+y²=b²将椭圆C的长轴三等分，直线l：y=mx-

4

5

（m≠0）与椭圆C交于A、B两点，PA、PB与圆O交于M、N两点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）求证△APB为直角三角形；
（Ⅲ）设直线MN的斜率为n，求证：

m

n

为定值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的短轴长为2，解得b=1，由圆O将椭圆的长轴三等分，得a=3b=3，由此能求出椭圆C的方程．
（Ⅱ）由

y=mx- 4 5 x2 9 +y2=1

，得（1+9m²）x²-

72

5

mx-

81

25

=0，由此推导出

PA

•

PB

=0，从而能证明△PAB为直角三角形．
（Ⅲ）设直线PA的斜率为k，k＞0，则PA：y=kx+1，由

y=kx+1 x2 9 +y2=1

，得A(

-18k

1+9k2

，

1-9k2

1+9k2

)，又直线l过点（0，-

4

5

），则m=

k2-1

10k

，由

y=kx+1 x2+y2=1

，得M（

-2k

1+k2

，

1-k2

1+k2

），MN过原点，n=kOM=

k2-1

2k

，由此能证明

m

n

为定值

1

5

．

解答： （Ⅰ）解：∵椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的短轴长为2，∴2b=2，解得b=1，
∵圆O将椭圆的长轴三等分，∴2b=

1

3

×2a，
∴a=3b=3，
∴椭圆C的方程为

x2

9

+y2=1．
（Ⅱ）证明：由

y=mx- 4 5 x2 9 +y2=1

，消去y得（1+9m²）x²-

72

5

mx-

81

25

=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x1+x2=

72m

5(1+9m2)

，x1x2=

-81

25(1+9m2)

，
又P（0，1），∴

PA

•

PB

=(x1，y1-1)•(x2，y2-1)
=x1x2+(mx1-

9

5

)(mx2-

9

5

)
=x1x2+m2x1x2-

5

9

m(x1+x2)+

81

25

=（1+m²）•

-81

25(1+9m2)

-

9

5

m•

72m

5(1+9m2)

+

81

25

=

-18-81m2-648m2+81+81×9m2

25(1+9m2)

=0
∴PA⊥PB，∴△PAB为直角三角形．
（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知PA⊥PB，由题意知PA，PB的斜率存在且不为0，
设直线PA的斜率为k，k＞0，则PA：y=kx+1，
由

y=kx+1 x2 9 +y2=1

，得

x= -18k 1+9k12 y= 1-9k2 1+9k2

或

x=0 y=1

，
∴A(

-18k

1+9k2

，

1-9k2

1+9k2

)，
又直线l过点（0，-

4

5

），
则m=

1-9k2 1+9k2 + 4 5

-18k 1+9k2

=

k2-1

10k

，
由

y=kx+1 x2+y2=1

，得

x= -2k 1+k2 y= 1-k2 1+k2

，或

x=0 y=1

，
∴M（

-2k

1+k2

，

1-k2

1+k2

），
又∵PM⊥PN，∴MN为⊙O的直径，∴MN过原点，∴n=kOM=

k2-1

2k

，
又∵m≠0，∴k²-1≠0，∴n≠0，
∴

m

n

=

k2-1 10k

k2-1 2k

=

1

5

，
∴

m

n

为定值

1

5

．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查三角形为直角三角形的证明，考查两数比值为定值的证明，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．