Question

如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上除A、B外的一个动点，DC⊥平面ABC，DC∥BE，CD=BE，AB=4，tan∠EAB=

1

4

．
（1）证明：平面ADE⊥平面ACD；
（2）试探究当C在什么位置时三棱锥C-ADE的体积取得最大值，请说明理由并求出这个最大值．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）由已知条件推导出四边形BCDE是平行四边形，由此能证明平面ADE⊥平面ACD．
（2）当C为半圆弧中点时三棱锥C-ADE的体积取得最大值，最大值为

4

3

．

解答： （1）证明：因为AB是直径，所以BC⊥AC，
因为CD⊥平面ABC，CD⊥BC，
因为CD∩AC=C，所以BC⊥平面ACD
因为CD∥BE，又因为CD=BE，
所以四边形BCDE是平行四边形，
所以BC∥DE，所以DE⊥平面ACD，
因为DE?平面ADE，所以平面ADE⊥平面ACD．
（2）解：依题意，EB=AB×tan∠EAB=4×

1

4

=1，
由（1）知VC-ADE=VE-ACD=

1

3

×S△ACD×DE
=

1

3

×

1

2

×AC×CD×DE
=

1

6

×AC×BC
≤

1

12

×(AC2+BC2)=

1

12

×AB2=

4

3

，
等号当且仅当AC=BC=2

2

时成立，
所以当C为半圆弧中点时三棱锥C-ADE的
体积取得最大值，最大值为

4

3

．
此时，AD=

12+(2 2 )2

=3，S△ADE=

1

2

×AD×DE=3

2

，
设三棱锥C-ADE的高为h，
则VC-ADE=

1

3

×S△ADE×h=

4

3

，h=

2 2

3

．

点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查三棱锥体积的最大值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的合理运用．