Question

如图，已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，M为正方形AA₁D₁D的中心，N为棱AB的中点．
（Ⅰ）求证：MN∥平面BB₁D₁D；
（Ⅱ）求四棱锥N-BB₁D₁D的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面平行的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）取AD中点O，连接OM，ON，证明OM∥D₁D，ON∥BD，可得平面MON∥平面BB₁D₁D，即可证明MN∥平面BB₁D₁D；
（Ⅱ）求出N到平面BB₁D₁D的距离，即可求四棱锥N-BB₁D₁D的体积．

解答： （Ⅰ）证明：取AD中点O，连接OM，ON，
∵M为正方形AA₁D₁D的中心，N为棱AB的中点，
∴OM∥D₁D，ON∥BD，
∵OM∩ON=O，D₁D∩BD=D，
∴平面MON∥平面BB₁D₁D，
∵MN?平面MON，
∴MN∥平面BB₁D₁D；
（Ⅱ）解：N到平面BB₁D₁D的距离为

2

4

•2=

2

2

，
∴四棱锥N-BB₁D₁D的体积为

1

3

•

2

•2•

2

2

=

2

3

．

点评：本题考查线面平行，考查四棱锥N-BB₁D₁D的体积，正确运用面面平行的判定与性质定理是关键．