Question

已知椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F₁，F₂，离心率为为

2

2

．点P在椭圆E上，且△PF₁F₂的周长为4

2

+4．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）若直线l：y=x+m与椭圆E交于A，B两点，O为坐标原点，求△AOB面积的最大值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由已知条件得

c a = 2 2 2a+2c=4 2 +4

，由此能求出椭圆E的方程．
（Ⅱ）联立

y=x+m x2 8 + y2 4 =1

，得3x²+4mx+2m²-8=0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），x1+x2=-

4m

3

，x₁x₂=

2m2-8

3

，|AB|=

2[(- 4m 3 )2-4× 2m2-8 3 ]

=

4

3

•

12-m2

，原点O到直线y=x+m的距离d=

|m|

2

，由此利用二次函数的性质能求出△AOB面积的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）∵椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F₁，F₂，
离心率为为

2

2

．点P在椭圆E上，且△PF₁F₂的周长为4

2

+4．
∴

c a = 2 2 2a+2c=4 2 +4

，解得a=2

2

，c=2，
∴b²=8-4=4，
∴椭圆E的方程为

x2

8

+

y2

4

=1．
（Ⅱ）联立

y=x+m x2 8 + y2 4 =1

，得3x²+4mx+2m²-8=0，
△＞0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
x1+x2=-

4m

3

，x₁x₂=

2m2-8

3

，
|AB|=|=

1+k2

|x1-x2|=

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

2[(- 4m 3 )2-4× 2m2-8 3 ]

=

4

3

•

12-m2

，
原点O到直线y=x+m的距离d=

|m|

2

，
∴S_△AOB=

1

2

•d•|AB|=

1

2

•

|m|

2

•

4

3

12-m2

=

2

3

12m2-m4

，
∴m²=6时，S_△AOB取最大值

2

3

12×6-62

=2

2

．
∴△AOB面积的最大值为2

2

．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查三角形面积的最大值的求法，解题时要认真审题，注意椭圆弦长公式和二次函数性质的灵活运用．