Question

已知抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F，点P是抛物线上的一点，且纵坐标为4，|PF|=4．
（1）求抛物线的方程；
（2）设直线l与抛物线交于A，B两点，且∠APB的角平分线与x轴垂直，求△PAB面积最大时直线l的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）设点P（x₀，4），由已知条件得x0+

p

2

=4，4²=2px₀，由此能求出抛物线的方程为y²=8x．
（2）由（1）知点P的坐标为（2，4），由∠APB的角平分线与x轴垂直，知PA，PB的斜率互为相反数，设直线PA的方程为y-4=k（x-2），（k≠0）由

y=kx-2k+4 y2=8x

，得ky²-8y-16k+32=0，由此推导出可设直线AB的方程为y=-x+b，把x=-y+b代入抛物线方程得y²+8y-8b=0，从而能求出当b=0时，△PAB的面积取得最大值．此时直线l的方程为x+y=0．

解答： 解：（1）设点P（x₀，4），∵|PF|=4，
∴由抛物线的定义得x0+

p

2

=4．
又∵4²=2px₀，二式联立解得x₀=2，p=4．
故此抛物线的方程为y²=8x．（4分）
（2）由（1）知点P的坐标为（2，4），
由∠APB的角平分线与x轴垂直，
知PA，PB的斜率互为相反数．（5分）
设直线PA的方程为y-4=k（x-2），（k≠0）
由

y=kx-2k+4 y2=8x

，消去x得ky²-8y-16k+32=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y1+4=

8

k

，即y1=

8

k

-4，
同理y2=-

8

k

-4．（7分）
∴直线AB的斜率为kAB=

y2-y1

x2-x1

=

8(y2-y1)

y22-y12

=

8

y1+y2

=-1．（8分）
设直线AB的方程为y=-x+b，
把x=-y+b代入抛物线方程，得y²+8y-8b=0，
由题意知△=64+32b＞0，且y₁y₂=-8b≥0，
从而-2＜b≤0．又y₁+y₂=-8，
∴|AB|=

1+(-1)2

•|y1-y2|=8

b+2

，
点P到AB的距离d=

|6-b|

2

．
因此，S△PAB=2

2

•

(b+2)(b-6)2

，（10分）
令f（b）=（b+2）（b-6）²=b³-10b²+12b+72，（-2＜b≤0），
则f'（b）=3b²-20b+12＞0在b∈（-2，0]上恒成立，
∴函数f（b）在b∈（-2，0]上为增函数，
因此f（b）_max=f（0）=72，
即△PAB面积的最大值为S△PAB=2

2

•

72

=24
∴当b=0时，△PAB的面积取得最大值．此时直线l的方程为x+y=0．（12分）

点评：本题考查抛物线方程的求法，考查三角形面积的最大值的求法，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．