Question

求证：（1+1）（1+

1

3

）（1+

1

5

）…（1+

1

2n-1

）＞

2n+1

．

Answer 1

考点：数学归纳法

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：直接利用数学归纳法的证明步骤，验证n=2时不等式成立，然后假设n=k时不等式成立，证明n=k+1时不等式也成立即可．

解答： 证明：（1）当n=1时，左边=1+1=2＞

3

=右边显然成立．（2分）
（2）假设n=k（k≥1且k∈N）时，：（1+1）（1+

1

3

）（1+

1

5

）…（1+

1

2k-1

）＞

2k+1

成立 （4分）
则当n=k+1时，（1+1）（1+

1

3

）（1+

1

5

）…（1+

1

2k-1

）（1+

1

2k+1

）＞

2k+1

（1+

1

2k+1

）=

2k+1

+1． （5分）
又因为2

2k+1

＞1，
∴(

2k+1

+1)2=2k+2+2

2k+1

＞2k+3，
即（1+1）（1+

1

3

）（1+

1

5

）…（1+

1

2k-1

）（1+

1

2k+1

）＞

2(k+1)+1

，
当n=k+1时，不等式也成立．（11分）
由（1）（2）可知对于大于1的任意自然数n，都有（1+1）（1+

1

3

）（1+

1

5

）…（1+

1

2n-1

）＞

2n+1

 （12分）

点评：本题考查数学归纳法证明不等式的证明步骤，注意n=k+1时必须用上假设，考查逻辑推理能力．