Question

设数列{a_n}满足：a₁=2，a₂=8，a_n+1=（1+sin

4nπ+π

2

）a_n，（n=1，2，3，…）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{b_n}满足b_n=na_2n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由已知条件得{a_n}从第2项起是以8为首项2为公比的等比数列，由此能求出{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）由b_n=na_2n=n•4ⁿ，利用错位相减法能求出数列{b_n}的前n项和T_n．

解答： 解：（Ⅰ）∵a_n+1=（1+sin

4nπ+π

2

）a_n=2a_n，
又a₁=2，a₂=8，
∴{a_n}从第2项起是以8为首项2为公比的等比数列，
∴an=

2，n=1 2n+1，n≥2

．
（Ⅱ）b_n=na_2n=n•4ⁿ，
∴T_n=1•4+2•4²+3•4³+…+n•4ⁿ，①
4T_n=1•4²+2•4³+3•4⁴+…+n•4ⁿ⁺¹，②
①-②，得：-3T_n=4+4²+4³+…+4ⁿ-n•4ⁿ⁺¹
=

4(1-4n)

1-4

-n•4ⁿ⁺¹，
∴T_n=

4

9

-

4n+1

9

+

n

3

•4n-1．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．