Question

在四棱锥P-ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，若PD=DA，M是PC的中点．
（Ⅰ）证明：PA∥平面BDM
（Ⅱ）若PD=

2

，求点C到平面BDM的距离．

Answer 1

考点：点、线、面间的距离计算,直线与平面平行的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）连结AC，设AC与BD交于O点，连结MO，易证MO为△PAC的中位线，从而OM∥PA，再利用线面平行的判断定理即可证得PA∥平面BDM；
（Ⅱ）利用等体积转换，即可求点C到平面BDM的距离．

解答： （Ⅰ）证明：连结AC，设AC与BD交于O点，连结MO．
∵底面ABCD是正方形，
∴O为AC的中点，又M为PC的中点，
∴OM∥PA，
∵OM?平面BDE，PA?平面BDM，
∴PA∥平面BDM．…（6分）
（Ⅱ）解：设点C到平面BDM的距离为h，PD=DA=2，则
△BDM中，BD=2

2

，DM=

2

，BM=

6

，
∴∠DMB=90°，
∴S_△BDM=

1

2

•

2

•

6

=

3

，
由V_M-BDC=V_C-BDM，可得

1

3

•

1

2

•2•2•1=

1

3

•

3

h，
∴h=

2 3

3

．
即点C到平面BDM的距离为

2 3

3

．

点评：本题考查直线与平面平行的判定，考查点C到平面BDM的距离，考查推理证明的能力，属于中档题．