Question

设数列{a_n}满足：a₁=2，a₂=8，a_n+2=（2+i²ⁿ）a_n+1+i²ⁿ，（i是虚数单位，n=1，2，3，…）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{b_n}满足b_n=na_2n，n∈N+，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,复数代数形式的混合运算

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）当n是奇数时，an=

a

1

=2，当n是偶数时，a_n+2=3a_n+2，从而推导出{a_n+1}是以a₂+1=9为首项，3为公比的等比数列，由此求出an=

2，n是奇数 3 n 2 +1-1，n是偶数

．
（Ⅱ）b_n=na_2n=n（3ⁿ⁺¹-1）=n•3ⁿ⁺¹-n，由此利用分组求和法和错位相减法能求出数列{b_n}的前n项和T_n．

解答： 解：（Ⅰ）∵数列{a_n}满足：a₁=2，a₂=8，a_n+2=（2+i²ⁿ）a_n+1+i²ⁿ，
①当n是奇数时，an=

a

1

=2，
②当n是偶数时，a_n+2=3a_n+2，∴a_n+2+1=3（a_n+1），
{a_n+1}是以a₂+1=9为首项，3为公比的等比数列，
∴an+1=9•3

n

2

-1=3 

n

2

+1，
∴an=3

n

2

+1-1．
由①②知，an=

2，n是奇数 3 n 2 +1-1，n是偶数

．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a_2n=3ⁿ⁺¹-1，
∴b_n=na_2n=n（3ⁿ⁺¹-1）=n•3ⁿ⁺¹-n，
设{n•3ⁿ⁺¹}的前n项和为S_n，
则Sn=1•32+2•33+3•34+…+n•3n+1，①
3S_n=1•3³+2•3⁴+3•3⁵+…+n•3ⁿ⁺²，②
①-②，得-2S_n=3²+3³+3⁴…+3ⁿ⁺¹-n•3ⁿ⁺²
=

32(1-3n)

1-3

-n•3ⁿ⁺²，
∴Sn=

9

4

+

2n-1

4

•3n+2，
∴Tn=

9

4

+

2n-1

4

•3n+2-

n(n+1)

2

．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意分组求和法的合理运用．