Question

已知函数f（x）=a^x+x²-xlna（a＞1）
（Ⅰ）若函数y=|f（x）-b+

1

b

|-3有四个零点，求b的取值范围；
（Ⅱ）若对于任意的x₁，x₂∈[-1，1]时，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤e²-2（其中e是自然对数的底数）恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,函数零点的判定定理

专题：导数的综合应用

分析：（I）求导函数，即可得函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．先判断函数f（x）的极小值，再由函数有四个零点，进行等价转化方程有解问题，去掉绝对值，变成两个方程，即可解出b的范围；
（Ⅱ）|f（x₁）-f（x₂）|≤e²-2等价于求出函数在[-1，1]上的最大值和最小值即可求出a的取值范围．

解答： 解：（I）∵f（x）=a^x+x²-xlna（a＞1）．
∴求导函数，可得f′（x）=a^xlna+2x-lna=2x+（a^x-1）lna，
由于a＞1，
∴lna＞0，当x＞0时，a^x-1＞0，
∴f′（x）＞0，故函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．
∴f（x）_min=f（0）=1，
由|f（x）-b+

1

b

|-3=0，
得：f（x）=b-

1

b

+3，或f（x）=b-

1

b

-3，
∵函数y=|f（x）-b+

1

b

|-3有四个零点，
∴

b- 1 b +3＞1 b- 1 b -3＞1

，
∴b-

1

b

＞4，
解得：b＞2+

5

，2-

5

＜b＜0，
∴b的范围是（2-

5

，0）∪（2+

5

，+∞），
（Ⅱ）若对于任意的x₁，x₂∈[-1，1]时，
由（Ⅰ）知，f（x）在（-∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，
∴f（x）的最小值为f（0）=1，
总而再来比较f（-1），与f（1）的大小即可，
f（-1）=

1

a

+1+lna，f（1）=a+1-lna，
则f（1）-f（-1）=a-

1

a

-2lna，
设g（a）=a-

1

a

-2lna，（a＞1），
则g′（a）=(

1

a

-1)2＞0，
即g（a）在[1，+∞）上单调递增，
∴g（a）＞g（1）=1-1=0，
则g（a）＞0，
则f（1）＞f（-1），
则f（1）是函数f（x）的最大值，即f（1）=a+1-lna，
故对?x₁，x₂∈[-1，1]，|f（x₁）-f（x₂）|≤|f（1）-f（0）|=a-lna，
∴等价为a-lna≤e²-2，
令h（x）=x-lnx（x＞1），
h′（x）=1-

1

x

＞0，
∴h（x）在（1，+∞）上单调递增，
又a＞1，∴h（a）=a-lna≤e²-2=h（e²）
解得a≤e²；
∴a的范围是（1，e²）．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的零点，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，解题的关键是利用导数确定函数的最值．