Question

如图1，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D为AC中点，AE⊥BD于E（不同于点D），延长AE交BC于F，将△ABD沿BD折起，得到三棱锥A₁-BCD，如图2所示．

（Ⅰ）若M是FC的中点，求证：直线DM∥平面A₁EF；
（Ⅱ）求证：BD⊥A₁F；
（Ⅲ）若平面A₁BD⊥平面BCD，试判断直线A₁B与直线CD能否垂直？并说明理由．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）由三角形中位线定理推导出DM∥EF，由此能证明DM∥平面A₁EF．
（Ⅱ）由已知条件推导出BD⊥平面A₁EF，由此能证明BD⊥A₁F．
（Ⅲ）直线A₁B与直线CD不能垂直．假设A₁B⊥CD，能推导出A₁B⊥BD，这与∠A₁BD为锐角矛盾．

解答： （Ⅰ）证明：因为D，M分别为AC，CF中点，
所以DM∥EF，（2分）
又EF?平面A₁EF，DM?平面A₁EF
所以DM∥平面A₁EF．（4分）
（Ⅱ）证明：因为A₁E⊥BD，EF⊥BD，且A₁E∩EF=E，
所以BD⊥平面A₁EF，（7分）
又A₁F?平面A₁EF
所以BD⊥A₁F．（9分）
（Ⅲ）解：直线A₁B与直线CD不能垂直，（10分）
因为平面A₁BD⊥平面BCD，
平面A₁BD∩平面BCD=BD，EF⊥BD，EF?平面CBD，
所以 EF⊥平面A₁BD．（12分）
因为A₁B?平面A₁BD，所以A₁B⊥EF，
又因为EF∥DM，所以A₁B⊥DM．
假设A₁B⊥CD，
因为A₁B⊥DM，CD∩DM=D，
所以A₁B⊥平面BCD，（13分）
所以A₁B⊥BD，
这与∠A₁BD为锐角矛盾
所以直线A₁B与直线CD不能垂直．（14分）

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查异面直线垂直的证明，考查两直线能否垂直的判断与证明，解题时要注意空间思维能力的培养．