Question

“你低碳了吗？”这是某市为倡导建设资源节约型社会而发布的公益广告里的一句话．活动组织者为了解这则广告的宣传效果，随机抽取了100名年龄段在[10，20），[20，30），…，[50，60）的市民进行问卷调查，由此得到样本的频率分布直方图如图所示．
（Ⅰ）求随机抽取的市民中年龄段在[30，40）的人数；
（Ⅱ）从不小于40岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取8人，求[50，60）年龄段抽取的人数；
（Ⅲ）从按（Ⅱ）中方式得到的8人中再抽取3人作为本次活动的获奖者，记X为年龄在[50，60）年龄段的人数，求X的分布列及数学期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,频率分布直方图

专题：概率与统计

分析：（Ⅰ）利用频率分布直方图能求出随机抽取的市民中年龄段在[30，40）的人数．
（Ⅱ）由频率公布直方图知100×0.15=15，100×0.05=5，由此能求出抽取的8人中[50，60）年龄段抽取的人数．
（Ⅲ）X的所有可能取值为0，1，2．分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和X的数学期望．

解答： 解：（Ⅰ）1-10×（0.020+0.025+0.015+0.005）=0.35，100×0.35=35，
即随机抽取的市民中年龄段在[30，40）的人数为35．…（4分）
（Ⅱ）100×0.15=15，100×0.05=5，
所以5×

8

20

=2，
即抽取的8人中[50，60）年龄段抽取的人数为2．  …（7分）
（Ⅲ）X的所有可能取值为0，1，2．
P(X=0)=

C 3 6

C 3 8

=

5

14

；
P(X=1)=

C 1 2 C 2 6

C 3 8

=

15

28

；
P(X=2)=

C 2 2 C 1 6

C 3 8

=

3

28

．
所以X的分布列为

X	0	1	2
P	5 14	15 28	3 28

X的数学期望为EX=0×

5

14

+1×

15

28

+2×

3

28

=

3

4

．…（13分）

点评：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．