Question

如图，在多面体ABCDEFG中，平面ABC∥平面DEFG，AD⊥平面DEFG，BA⊥AC，ED⊥DG，EF∥DG且AC=1，AB=ED=EF=2，AD=DG=4．
（Ⅰ）求证：BE⊥平面DEFG；
（Ⅱ）求证：BF∥平面ACGD；
（Ⅲ）求二面角F-BC-A的余弦值．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,二面角的平面角及求法

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）根据平面ABCD∥平面DEFG，证出AB∥DE．结合题意，得ADEB为平行四边形，所以BE∥AD．而AD⊥平面DEFG，得到BE⊥平面DEFG；
（Ⅱ）取DG的中点为M，连接AM、FM．结合题中位置关系和长度数据，证出AB∥FM且AB=FM，所以四边形ABFM是平行四边形，得BF∥AM，再结合线面平行的判定定理，可得BF∥平面ACGD；
（Ⅲ）建立空间坐标系，求出平面FBC的法向量、平面ABC的法向量，利用向量的夹角公式，即可求二面角F-BC-A的余弦值．

解答： （Ⅰ）证明：∵平面ABC∥平面DEFG，平面ABC∩平面ADEB=AB，平面DEFG∩平面ADEB=DE，
∴AB∥DE…（1分）
又∵AB=DE，∴四边形ADEB为平行四边形，
∴BE∥AD…（2分）
∵AD⊥面DEFG，∴BE⊥平面DEFG．…（3分）
（Ⅱ）证明：设DG的中点为M，连接AM，MF，则DM=

1

2

DG=2，
∵EF=2，EF∥DG，∴四边形DEFM是平行四边形…（4分）
∴MF=DE且MF∥DE，
由（Ⅰ）知，ADEB为平行四边形，
∴AB=DE且AB∥DE，∴AB=MF且AB∥MF，
∴四边形ABFM是平行四边形，…（5分）
即BF∥AM，
又BF?平面ACGD，故 BF∥平面ACGD；…（6分）
（Ⅲ）解：由已知，AD，DE，DG两两垂直，建立如图的空间坐标系，则A（0，0，4），B（2，0，4），C（0，1，4），F（2，2，0）
∴

BF

=(0，2，-4)，

BC

=(-2，1，0)
设平面FBC的法向量为

n1

=（x，y，z），
则

n1 • BF =2y-4z=0 n1 • BC =-2x+y=0

，
令z=1，则

n1

=（-1，-2，1），
而平面ABC的法向量

n2

=

DA

=(0，0，4)
∴cos＜

n1

，

n2

＞

4

1+4+1 ×4

=

6

6

由图形可知，二面角F-BC-A的余弦值-

6

6

．…（12分）

点评：本题给出特殊的六面体，求证线面平行、线面垂直并且求二面角F-BC-A的余弦值．考查了线面垂直、线面平行的判定与性质和向量等知识，属于中档题．