Question

如图，已知椭圆C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

2

2

，右焦点为F（2，0）．抛物线C₂：y²=2px（p＞0）与椭圆C₁交于A、B两点．
（Ⅰ）求椭圆C₁的方程；
（Ⅱ）求

FA

•

FB

的最小值，并求此时抛物线C₂的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（I）由已知条件得

c a = 2 2 c=2

，由此能求出椭圆C₁方程．
（II）点A与点B关于x轴对称，设A（x₀，y₀）、B（x₀，-y₀），由点A在椭圆C₁上，得y02=4(1-

x02

8

)，由已知有

FA

=(x0-2，y0)，

FB

=(x0-2，-y0)，由此能求出抛物线C₂方程．

解答： 解：（I）∵椭圆C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

2

2

，右焦点为F（2，0），
∴

c a = 2 2 c=2

，解得a=2

2

，c=2…（3分）
由b²=a²-c²，得b=2…（4分）
故椭圆C₁方程为

x2

8

+

y2

4

=1…（5分）
（II）点A与点B关于x轴对称，设A（x₀，y₀）、B（x₀，-y₀）…（6分）
由于点A在椭圆C₁上，∴y02=4(1-

x02

8

)
由已知有

FA

=(x0-2，y0)，

FB

=(x0-2，-y0)…（7分）
则

FA

•

FB

=

x

2 0

-4x0+4-4(1-

x 2 0

8

)
=

3

2

x

2 0

-4x0=

3

2

(x0-

4

3

)2-

8

3

…（9分）
由于0-2

2

＜x0＜2

2

，
故当x0=

4

3

时，

FA

•

FB

取得最小值为-

8

3

…（10分）
当x0=

4

3

时，

y

2 0

=

28

9

，
又点A在抛物线C₂上，代入抛物线C₂方程得2p=

7

3

…（11分）
∴抛物线C₂方程为y2=

7

3

x…（12分）

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查抛物线方程的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．