Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n=-a_n-（

1

2

）ⁿ⁺¹+2（n为正整数）．
（Ⅰ）令b_n=2ⁿa_n，求证数列{b_n}是等差数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）令c_n=

n+1

n

a_n，T_n=c₁+c₂+…+c_n，求T_n并证明：T_n＜3．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由S_n=-a_n-（

1

2

）ⁿ⁺¹+2可求得2a_n=a_n-1+(

1

2

)n-1，结合b_n=2ⁿa_n，可证得b_n=b_n-1+1，从而可知其为等差数列，继而可求得数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）由（I）得cn=

n+1

n

an=(n+1)(

1

2

)n，T_n=2×

1

2

+3×(

1

2

)2+4×(

1

2

)3+…+（n+1）×(

1

2

)n，

1

2

T_n=2×(

1

2

)2+3×(

1

2

)3+…+（n+1）×(

1

2

)n+1，利用错位相减法即可求得T_n=3-

n+3

2n

，继而证得结论成立．

解答： （本小题满分14分）
证明：（Ⅰ）在Sn=-an-(

1

2

)n-1+2中，令n=1，可得S₁=-a_n-1+2=a₁，即a1=

1

2

…1分
当n≥2时，Sn-1=-an-1-(

1

2

)n-2+2，
∴an=Sn-Sn-1=-an+an-1+(

1

2

)n-1，
∴2a_n=a_n-1+(

1

2

)n-1…4分
即2ⁿa_n=2^n-1a_n-1+1…5分
∵bn=2nan，∴b_n=b_n-1+1，即当n≥2时，b_n-b_n-1=1…6分
又b₁=2a₁=1，∴数列{b_n}是首项和公差均为1的等差数列…7分
于是bn=1+(n-1)•1=n=2nan，∴an=

n

2n

…9分
（II）由（I）得cn=

n+1

n

an=(n+1)(

1

2

)n，
所以T_n=2×

1

2

+3×(

1

2

)2+4×(

1

2

)3+…+（n+1）×(

1

2

)n，

1

2

T_n=2×(

1

2

)2+3×(

1

2

)3+…+（n+1）×(

1

2

)n+1，….10分
由①-②得

1

2

T_n=1+(

1

2

)2+(

1

2

)3+…+(

1

2

)n-（n+1）×(

1

2

)n+1
=1+

1 4 [1-( 1 2 )n-1]

1- 1 2

-（n+1）×(

1

2

)n+1=

3

2

-

n+3

2n+1

，
∴T_n=3-

n+3

2n

，
∵

n+3

2n

＞0，所以T_n＜3…14分

点评：本题考查数列的求和，考查等差关系的确定，突出考查错位相减法求数列的和，考查等价转化思想与综合运算、推理证明能力，属于难题．