Question

已知函数f（x）=e^x-ax（a∈R），且函数f（x）的最小值为a．
（1）已知b∈R，设af（x）+bx＞0，且{x|0≤x≤2}⊆P，求实数b的取值范围；      
（2）设n∈N，证明(

k

n

)n＜

e

e-1

．

Answer 1

考点：集合的包含关系判断及应用,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（1）先对函数f（x）进行求导，求出极值点为x=alna，根据函数f（x）的最小值为a，求出a=1，将题目转化成f（x）＞-bx在[0，2]上恒成立，再利用导数求最值，问题得以解决．
（2）由（1）得，对于任意x∈R，都有e^x-x≥1，即1+x≤e^x，令x=-

1

n

（n∈N*，i=1，2，…，n-1），便可得到不等关系，将n项求和可得结论．

解答： 解：（1）∵f（x）=e^x-ax（a∈R），
∴f′（x）=e^x-a，
令f′（x）=e^x-a=0，
解得x=lna，
即当x=lna时，函数f（x）有最小值．
∴f（lna）=a，
即a-alna=a，
解得a=1，a=0（舍去）
∵af（x）+bx＞0，且{x|0≤x≤2}⊆P
∴e^x-x+bx＞0，
当x=0时，恒成立，
当0＜x≤2时，
∴b＞1-

ex

x

恒成立
令g（x）=

ex

x

，
则g′（x）=e^x（

x-1

x2

），
令g′（x）=e^x（

x-1

x2

）=0，
解得x=1，
即当x=1时，g（x）有最小值，最小值为g（1）=e，
∴b＞1-e，
综上所述，实数b的取值范围是（1-e，+∞）；
（2）证明：由（1）得，对于任意x∈R，都有e^x-x≥1，即1+x≤e^x．
令x=-

1

n

（n∈N*，i=1，2，…，n-1），则0＜1-

1

n

＜e-

1

n

∴(1-

1

n

)n＜e-

1

n

=e^-i（i=1，2，…，n-1），
即(

n-1

n

)n＜e^-i（i=1，2，…，n-1），

∴

n

k=1

(

k

n

)n=(

1

n

)n+(

2

n

)n+…+(

n

n

)n＜e^-（n-1）+e^-（n-2）+…+e^-1+1，

∵e^-（n-1）+e^-（n-2）+…+e^-1+1=

1-e-n

1-e-1

＜

1

1-e-1

=

e

e-1

，
∴(

k

n

)n＜

e

e-1

．

点评：本题考查了利用导数研究闭区间上的最值问题，恒成立问题的转化，以及不等式的证明．