Question

如图，在五面体ABCDEF中，已知DE⊥平面ABCD，AD∥BC，∠BAD=60°AB=2，DE=EF=1．
（1）求证：BC∥EF；
（2）求三棱锥B-DEF的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,空间中直线与直线之间的位置关系

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（1）先证明BC∥平面ADEF，再利用线面平行的性质，证明BC∥EF；
（2）在平面ABCD内作BH⊥AD于点H，证明BH是三棱锥B-DEF的高，即可求三棱锥B-DEF的体积．

解答： （1）证明：因为AD∥BC，AD?平面ADEF，BC?平面ADEF，
所以BC∥平面ADEF，…（3分）
又BC?平面BCEF，平面BCEF∩平面ADEF=EF，
所以BC∥EF．          …（6分）
（2）解：在平面ABCD内作BH⊥AD于点H，
因为DE⊥平面ABCD，BH?平面ABCD，所以DE⊥BH，
又AD，DE?平面ADEF，AD∩DE=D，
所以BH⊥平面ADEF，
所以BH是三棱锥B-DEF的高．      …（9分）
在直角三角形ABH中，∠BAD=60°，AB=2，所以BH=

3

，
因为DE⊥平面ABCD，AD?平面ABCD，所以DE⊥AD，
又由（1）知，BC∥EF，且AD∥BC，所以AD∥EF，所以DE⊥EF，…（12分）
所以三棱锥B-DEF的体积V=

1

3

×S_△DEF×BH=

3

6

．  …（14分）

点评：本题考查线面平行的判定与性质，考查三棱锥B-DEF的体积，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．