Question

四棱锥P-ABCD底面是菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E，F分别是BC，PC的中点．
（Ⅰ）求证：平面AEF⊥平面PAD；
（Ⅱ）H是PD上的动点，EH与平面PAD所成的最大角为45°，求二面角E-AF-C的正切值．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,与二面角有关的立体几何综合题

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）设菱形ABCD的边长为2a，由勾股定理推导出AE⊥BC，AE⊥AD．由线面垂直得到PA⊥AE，由此能证明面AEF⊥面PAD．
（Ⅱ）过E作EQ⊥AC，垂足为Q，过作QG⊥AF，垂足为G，连GE，则∠EGQ是二面角E-AF-C的平面角．由此能求出二面角E-AF-C的正切值．

解答： （Ⅰ）证明：设菱形ABCD的边长为2a，
则AE²=（2a）²+a²-2a•2acos60°=3a²，AE=

3

a，
BE²+AE²=AB²，∴AE⊥BC，
又AD∥BC，∴AE⊥AD．
∵PA⊥面ABCD，∴PA⊥AE，AE⊥面PAD，
∴面AEF⊥面PAD．
（Ⅱ）解：过E作EQ⊥AC，垂足为Q，过作QG⊥AF，垂足为G，连GE，
∵PA⊥面ABCD，∴PA⊥EQ，EQ⊥面PAC，
∴∠EGQ是二面角E-AF-C的平面角．
过点A作AH⊥PD，连接EH，
∵AE⊥面PAD，∴∠AHE是EH与面PAD所成的最大角．
∵∠AHE=45°，∴AH=AE=

3

a，
∵AH•PD=PA•AD，∴2a•PA=

3

a•

PA2+(2a)2

，PA=2

3

a，PC=4a，
EQ=

3

2

a，CQ=

1

2

a，GQ=

3 3

4

a，
∴tan∠EGQ=

EQ

GQ

=

2

3

．

点评：本题考查面面垂直的证明，考查二面角正切值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．