Question

设a是一个自然数，f（a）是a的各位数字的平方和，定义数列{a_n}：a₁是自然数，a_n=f（a_n-1）（n∈N^*，n≥2）．
（Ⅰ）求f（99），f（2014）；
（Ⅱ）若a₁≥100，求证：a₁＞a₂；
（Ⅲ）当a₁＜1000时，求证：存在m∈N^*，使得a_3m=a_2m．

Answer 1

考点：数学归纳法

专题：综合题,点列、递归数列与数学归纳法

分析：（Ⅰ）利用新定义，可求f（99），f（2014）；
（Ⅱ）假设a₁是一个n位数（n≥3），设出a₁，由a₂=f（a₁）可得，a2=bn2+bn-12+…+b32+b22+b12，作差，即可得证；
（Ⅲ）利用数学归纳法进行证明即可．

解答： （Ⅰ）解：f（99）=9²+9²=162；f（2014）=2²+0²+1²+4²=21．                  …（5分）
（Ⅱ）证明：假设a₁是一个n位数（n≥3），
那么可以设a1=bn•10n-1+bn-1•10n-2+…+b3•102+b2•10+b1，
其中0≤b_i≤9且b_i∈N（1≤i≤n），且b_n≠0．
由a₂=f（a₁）可得，a2=bn2+bn-12+…+b32+b22+b12．a1-a2=(10n-1-bn)bn+(10n-2-bn-1)bn-1+…+(102-b3)b3+(10-b2)b1+(1-b1)b1，所以a1-a2≥(10n-1-bn)bn-(b1-1)b1．
因为b_n≠0，所以（10^n-1-b_n）b_n≥99．
而（b₁-1）b₁≤72，
所以a₁-a₂＞0，即a₁＞a₂．                     …（9分）
（Ⅲ）证明：由a₁＜1000，即a₁≤999，可知a2≤92+92+92=243．
同理a_n≤999，可知an+1≤92+92+92=243．
由数学归纳法知，对任意n∈N^*，有a_n≤999．
即对任意n∈N^*，有a_n∈{1，2，3，…，999}．
因此，存在p，q∈N^*（p＜q），有a_p=a_q．
则a_p+1=a_q+1，a_p+2=a_q+2，…，a_q-1=a_q+q-p-1，
可得对任意n∈N^*，n≥p，有a_n+q-p=a_n．
设q-p=T，即对任意n≥p，有a_n+T=a_n．
若T≥p，取m=T，n=2m，则有a_3m=a_2m．
若T＜p，由a_n+T=a_n，可得a_n+pT=a_n，
取m=pT，n=2m，则有a_3m=a_2m．            …（14分）

点评：本题考查数列的应用，考查新定义，考查数学归纳法，考查学生分析解决问题的能力，难度较大．