Question

已知边长分别为a、b、c的三角形ABC面积为S，内切圆O半径为r，连接OA、OB、OC，则三角形OAB、OBC、OAC的面积分别为

1

2

cr、

1

2

ar、

1

2

br，由S=

1

2

cr+

1

2

ar+

1

2

br得r=

2S

a+b+c

，类比得若四面体的体积为V，四个面的面积分别为A、B、C、D，则内切球的半径R=

3V

A+B+C+D

．

Answer 1

分析：由三角形的面积公式可知，是利用等积法推导的，即三个小三角形的面积之和等于大三角形ABC的面积，根据类比推理可知，将四面体分解为四个小锥体，则四个小锥体的条件之和为四面体的体积，由此单调内切球的半径．

解答：解：由条件可知，三角形的面积公式是利用的等积法来计算的．
∴根据类比可以得到，将四面体分解为四个小锥体，每个小锥体的高为内切球的半径，
∴根据体积相等可得

1

3

(A+B+C+D)R=V，
即内切球的半径R=

3V

A+B+C+D

．
故答案为：

3V

A+B+C+D

．

点评：本题主要考查类比推理的应用，要求正确理解类比的关系，本题的两个结论实质是利用了面积相等和体积相等来推导的．