Question

17．已知函数f（x）=ax²-lnx，a∈R．
（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）是否存在实数a，使函数f（x）在区间（0，e]上的最小值为$\frac{3}{2}$，若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当a=1时，f（x）=x²-lnx，${f}^{'}（x）=2x-\frac{1}{x}$，由此利用导数的几何意义能求出函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程．
（Ⅱ）f（x）=ax²-lnx，a∈R的定义域为（0，+∞），${f}^{'}（x）=2ax-\frac{1}{x}$=$\frac{2a{x}^{2}-1}{x}$，根据a≤0，a＞$\frac{1}{2{e}^{2}}$，0＜a≤$\frac{1}{2{e}^{2}}$分类讨论，能求出存在a=$\frac{{e}^{2}}{2}$，使函数f（x）在区间（0，e]上的最小值为$\frac{3}{2}$．

解答 解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=x²-lnx，f（1）=1，
${f}^{'}（x）=2x-\frac{1}{x}$，f′（1）=1，
∴函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x-y=0．
（Ⅱ）∵f（x）=ax²-lnx，a∈R，∴此函数的定义域为（0，+∞），
${f}^{'}（x）=2ax-\frac{1}{x}$=$\frac{2a{x}^{2}-1}{x}$，
当a≤0时，f′（x）＜0恒成立，∴f（x）在（0，e]上是减函数，
∴当x=e时，f（x）取得最小值f（e）=ae²-1=$\frac{3}{2}$，
解得a=$\frac{5}{2{e}^{2}}$＞0与a≤0矛盾；
当a＞0时，令f′（x）=0，得${x}_{1}=-\frac{1}{\sqrt{2}a}$，${x}_{2}=\frac{1}{\sqrt{2}a}$，
在（0，$\frac{1}{\sqrt{2}}$）上，f′（x）＜0，在（$\frac{1}{\sqrt{2}a}$，+∞）上，f′（x）＞0，
∴当$\frac{1}{\sqrt{2}a}$＜e，即a＞$\frac{1}{2{e}^{2}}$时，函数f（x）在（0，$\frac{1}{\sqrt{2a}}$）上是减函数，在（$\frac{1}{\sqrt{2a}}$，e）上是增函数，
∴当x=$\frac{1}{\sqrt{2a}}$时，f（x）取得最小值$\frac{1}{2}-ln\frac{1}{\sqrt{2a}}$，
令$\frac{1}{2}-ln\frac{1}{\sqrt{2a}}$=$\frac{3}{2}$，得a=$\frac{{e}^{2}}{2}$，符合题意．
当$\frac{1}{\sqrt{2a}}$≥e，即0＜a≤$\frac{1}{2{e}^{2}}$时，函数f（x）在（0，e]是减函数，
∴当x=e时，f（x）取得最小值，即ae²-1=$\frac{3}{2}$，
解得a=$\frac{5}{2{e}^{2}}$与0＜a≤$\frac{1}{2{e}^{2}}$矛盾．
综上，存在a=$\frac{{e}^{2}}{2}$，使函数f（x）在区间（0，e]上的最小值为$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查切线方程的求法，考查满足条件的实数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．