Question

8．如果幂函数f（x）的图象经过点（2，8），则f（3）=27．设g（x）=f（x）+x-m，若函数g（x）在（2，3）上有零点，则实数m的取值范围是10＜m＜30．

Answer 1

分析 设幂函数f（x）=x^α，把点（2，8）代入函数的解析式，求得α的值，即可得到函数的解析式，从而求出f（3）的值，求出g（x）的导数，得到函数的单调性，根据零点定理得到g（2）＜0且g（3）＞0，解出即可．

解答 解：设幂函数f（x）=x^α，
把点（2，8）代入函数的解析式可得2^α=8，
解得 α=3，故函数的解析式为f（x）=x³，
故f（3）=27，
g（x）=f（x）+x-m=x³+x-m，
g′（x）=3x²+1＞0，
故g（x）在（2，3）递增，
若函数g（x）在（2，3）上有零点，
只需$\left\{\begin{array}{l}{g（2）=10-m＜0}\\{g（3）=30-m＞0}\end{array}\right.$，
解得：10＜m＜30，
故答案为：27，10＜m＜30．

点评 本题考查了幂函数的定义，考查函数的零点问题以及导数的应用，是一道中档题．