Question

12．已知等差数列{a_n}满足a₁+a₂=4，a₇-a₄=6，则数列{$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前n项和S_n=$\frac{n}{2n+1}$．

Answer 1

分析 由等差数列的性质，求出数列的首项与公差，得到通项公式，然后利用裂项求和即可求解．

解答 解：a₁+a₂=4，a₇-a₄=6，可知，2a₁+d=4.3d=6，解得d=2，a₁=1
∴a_n=a₁+（n-1）d=2n-1
∵b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$[$\frac{1}{2n-1}$$-\frac{1}{2n+1}$]，
∴S_n=$\frac{1}{2}$[$1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+…+$$\frac{1}{2n-1}$$-\frac{1}{2n+1}$]=$\frac{n}{2n+1}$．
故答案为：$\frac{n}{2n+1}$．

点评 本题主要考查了等差数列的 性质及通项公式的应用，及数列的裂项求和方法的应用，属于数列知识的综合应用．