Question

已知圆C：x²+y²+2x-3=0，直线l₁与圆C相交于不同的A、B两点，点M（0，1）是线段AB的中点．
（1）求直线l₁的方程；
（2）是否存在与直线l₁平行的直线l₂，使得l₂与圆C相交于不同的两点E、F（l₂不经过圆心C），且△CEF的面积S最大？若存在，求出l₂的方程及对应的△CEF的面积S．若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用

专题：综合题,直线与圆

分析：（1）圆的方程化为标准方程，根据直线l₁与圆C相交于不同的A、B两点，点M（0，1）是线段AB的中点，可得CM⊥直线l₁，求出斜率，即可求直线l₁的方程；
（2）设直线l₂的方程，求出△CEF的面积，利用基本不等式，即可得出结论．

解答： 解：（1）圆C：x²+y²+2x-3=0，可化为圆C：（x+1）²+y²=4，
∴圆心坐标为（-1，0），
∵直线l₁与圆C相交于不同的A、B两点，点M（0，1）是线段AB的中点，
∴CM⊥直线l₁，
∵k_CM=1，
∴直线l₁的斜率为-1，
∴直线l₁的方程为y=-x+1；
（2）设直线l₂的方程为y=-x+b，即x+y-b=0，
（-1，0）到直线l₂的距离为d=

|-1-b|

2

＜2，
∴|EF|=2

4-d2

，
∴△CEF的面积S=

1

2

•d•2

4-d2

=

d2(4-d2)

≤

d2+4-d2

2

=2，
当且仅当d²=4-d²，即d=

2

时△CEF的面积S最大，
此时

|-1-b|

2

=

2

＜2，∴b=1或-3，最大面积为2，
∵直线l₁的方程为y=-x+1，
∴l₂的方程为x+y+3=0．

点评：本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，点到直线的距离公式的应用，直线与圆的相交关系的应用及基本运算的能力．