Question

已知P（x，y）为☉C：（x+2）²+y²=1上任一点．
（1）求x-2y的最值；
（2）求

y

x-1

的最大值；
（3）求x²+y²-2x-4y+5的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系

专题：直线与圆

分析：（1）设z=x-2y，利用直线和圆的位置关系即可求出x-2y的最值；
（2）设z=

y

x-1

，则z的几何意义为到定点（1，0）的斜率，利用直线和圆相切，即可求出z的最大值；
（3）设z=x²+y²-2x-4y+5=（x-1）²+（y-2）²，则z的几何意义圆上的点到定点A（1，2）距离的平方，根据距离公式即可求出z的取值范围．

解答： 解：（1）设z=x-2y，则直线方程为x-2y-z=0，
则圆心（-2，0）到直线的距离d=

|-2-z|

5

≤1时，
即|z+2|≤

5

，
∴-

5

-2≤z≤

5

-2，
即x-2y的最大值为

5

-2，最小值为-

5

-2．
（2）设z=

y

x-1

，则y=zx-z，即zx-y-z=0，
当直线和圆相切时，有

|-2z-z|

z2+1

=1，
即|3z|=

z2+1

，
平方得9z²=z²+1，
即z²=

1

8

，∴z=±

1 8

=±

2

4

，
∴

y

x-1

的最大值为

2

4

；
（3）设z=x²+y²-2x-4y+5=（x-1）²+（y-2）²，
则z的几何意义圆上的点到定点A（1，2）距离的平方，
圆心距|CA|=

(1+2)2+22

=

9+4

=

13

，
∴圆C上点到A的距离的最大为

13

+1，最小值为

13

-1，
∴（

13

-1）²≤z≤（

13

+1）²，
即14-2

13

≤z≤14+2

13

．

点评：本题主要考查直线与圆的位置关系的判断，根据函数的几何意义是解决本题的关键．