Question

【题目】如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB∥CD，AD=CD=1，∠BAD=120°，PA= ，∠ACB=90°，M是线段PD上的一点（不包括端点）． （Ⅰ）求证：BC⊥平面PAC；
（Ⅱ）求二面角D﹣PC﹣A的正切值；
（Ⅲ）试确定点M的位置，使直线MA与平面PCD所成角θ的正弦值为 ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵PA⊥底面ABCD，BC平面AC，∴PA⊥BC， ∵∠ACB=90°，
∴BC⊥AC，又PA∩AC=A，
∴BC⊥平面PAC．
（Ⅱ）取CD的中点E，则AE⊥CD，
∴AE⊥AB，又PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AE，
建立如图所示空间直角坐标系，
则A（0，，0，0），P（0，0， ），C（ ， ，0），D（ ，﹣ ，0）

∴ =（0，0， ）， =（ ，0）， ， ，
设平面PAC的一个法向量 ，则 ，
∴ ，∴ ．
设平面PDC的一个法向量 ，则 ， ，
∴ ，∴ ，
设二面角D﹣PC﹣A的平面角为θ，
∴cosθ=|cos＜ ＞|=| |=| |= ，
故二面角D﹣PC﹣A的正切值为2．
（Ⅲ）设M（x，y，z）， ，
则（x，y，z﹣ ）=m（ ），
解得点M（ ），即 =（ ），
由sinθ= ，得m=1（不合题意舍去）或m= ，
所以当M为PD的中点时，直线AM与平面PCD所成角的正弦值为 ．
【解析】（Ⅰ）由PA⊥底面ABCD，BC平面AC，知PA⊥BC，由∠ACB=90°，知BC⊥AC，由此能够证明BC⊥平面PAC．（Ⅱ）取CD的中点E，则AE⊥CD，故AE⊥AB，由PA⊥底面ABCD，知PA⊥AE，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角D﹣PC﹣A的正切值．（Ⅲ）设M（x，y，z）， ，则（x，y，z﹣ ）=m（ ），解得点M（ ），由此能够推导出当M为PD的中点时，直线AM与平面PCD所成角的正弦值为 ．
【考点精析】解答此题的关键在于理解直线与平面垂直的判定的相关知识，掌握一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想，以及对空间角的异面直线所成的角的理解，了解已知为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，所成的角为，则．