【题目】已知函数
(1) 求函数的反函数;
(2)试问:函数的图象上是否存在关于坐标原点对称的点,若存在,求出这些点的坐标;若不存在,说明理由;
(3)若方程的三个实数根满足: ,且,求实数的值.
【答案】(1);(2)存在点关于原点对称;(3).
【解析】试题分析:(1)根据分段函数的反函数的求法求出函数的反函数;
(2)设点是函数图象上关于原点对称的点,
则,即, 解方程求出,即可说明:函数图象上存在两点关于原点对称.
(3) 根据函数与函数的图象,可得
当时,,且.;
当时, ,于是,.
由,解得.,满足条件.因此,所求实数.
试题解析:(1)
当时,.
由,得,互换,可得.
当时,.
由,得,互换,可得.
(2) 答:函数图象上存在两点关于原点对称.
设点是函数图象上关于原点对称的点,
则,即,
解得舍去),且满足 .
因此,函数图象上存在点关于原点对称.
(3) 考察函数与函数的图象,可得
当时,有,原方程可化为,解得
,且由,得.
当
,解得(当时,).
于是,.
由,得,解得.
因为,故不符合题意,舍去;
,满足条件.因此,所求实数.
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【题目】已知函数, ,其中为自然对数的底数.
(Ⅰ)求曲线在点处的切线方程;
(Ⅱ)若对任意,不等式恒成立,求实数的取值范围;
(Ⅲ)试探究当时,方程的解的个数,并说明理由.
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【题目】在航天员进行的一项太空实验中,要先后实施6个程序,其中程序只能出现在第一步或最后一步,程序实施时必须相邻,请问实验顺序的编排方法共有 ( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
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【题目】已知抛物线的焦点为 ,过点且斜率为的直线交曲线于两点,交圆于两点(两点相邻).
(Ⅰ)若,当时,求的取值范围;
(Ⅱ)过两点分别作曲线的切线,两切线交于点,求与面积之积的最小值.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,椭圆经过点,离心率为. 已知过点的直线与椭圆交于两点.
(1)求椭圆的方程;
(2)试问轴上是否存在定点,使得为定值.若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】某船在海面处测得灯塔在北偏东方向,与相距海里,测得灯塔在北偏西方向,与相距海里,船由向正北方向航行到处,测得灯塔在南偏西方向,这时灯塔与相距多少海里?在的什么方向?
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【题目】如图,在四棱锥中,底面为边长为2的菱形,,,面面,点为棱的中点.
(1)在棱上是否存在一点,使得面,并说明理由;
(2)当二面角的余弦值为时,求直线与平面所成的角.
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【题目】已知直线l1:x-2y+3=0与直线l2:2x+3y-8=0的交点为M,
(1)求过点M且到点P(0,4)的距离为2的直线l的方程;
(2)求过点M且与直线l3:x+3y+1=0平行的直线l的方程.
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【题目】(2018·湖北襄阳模拟)已知椭圆C: (a>b>0)的焦点为F1,F2,P是椭圆C上一点,若PF1⊥PF2,|F1F2|=2,△PF1F2的面积为1.
(1)求椭圆C的方程;
(2)如果椭圆C上总存在关于直线y=x+m对称的两点A,B,求实数m的取值范围.
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