Question

【题目】(2018·湖北襄阳模拟)已知椭圆C： (a>b>0)的焦点为F1，F2，P是椭圆C上一点，若PF1⊥PF2，|F1F2|＝2，△PF1F2的面积为1.

(1)求椭圆C的方程；

(2)如果椭圆C上总存在关于直线y＝x＋m对称的两点A，B，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】试题分析：（1）根据三角形面积公式得PF1PF2，根据PF1⊥PF2利用勾股定理解得PF1+PF2，即得a，（2）设直线AB方程，与椭圆方程联立，根据韦达定理求AB中点坐标，根据AB中点坐标在椭圆内部得实数m的取值范围．

试题解析：(1)设|PF1|＝m，|PF2|＝n.

∵PF1⊥PF2，|F1F2|＝2，△PF1F2的面积为1，

∴m2＋n2＝(2)2，m＋n＝2a， mn＝1，解得a＝2，又c＝，

∴b2＝a2－c2＝1.∴椭圆C的方程为＋y2＝1.

(2)设AB的方程为y＝－x＋n.

联立化为5x2－8nx＋4n2－4＝0，

Δ＝64n2－20(4n2－4)>0，解得－<n<.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则

x1＋x2＝，y1＋y2＝－(x1＋x2)＋2n＝.

线段AB的中点在直线y＝x＋m上，

∴＝＋m，解得n＝－m.

代入－<n<，可得－<－<，解得－<m<，

∴实数m的取值范围是.