Question

【题目】某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为30元，并且每件产品须向总公司缴纳元(为常数，)的管理费．根据多年的统计经验，预计当每件产品的售价为元时，产品一年的销售量为为自然对数的底数)万件．已知每件产品的售价为40元时，该产品一年的销售量为500万件．经物价部门核定每件产品的售价最低不低于35元，最高不超过41元．

（Ⅰ）求分公司经营该产品一年的利润万元与每件产品的售价元的函数关系式；

（Ⅱ）当每件产品的售价为多少元时，该产品一年的利润最大，并求的最大值．

Answer 1

【答案】(1) L(x)= 500(x－30－a)e40－x(35≤x≤41)；(2) 当2≤a≤4时，每件产品的售价为35元，该产品一年的利润L(x)最大，最大为500(5－a)e5万元；当4<a≤5时，每件产品的售价为(31＋a)元时，该产品一年的利润L(x)最大，最大为500e9－a万元.

【解析】

试题分析:（1）先根据条件求出k，再根据利润等于销售量乘以单个利润得函数解析式，最后交代定义域（2）先求导数，再求导函数零点，根据零点与定义区间关系分类讨论，确定导函数符号，进而确定最大值

试题解析：(1)由题意，该产品一年的销售量为y＝.

将x＝40，y＝500代入，得k＝500e40.

故该产品一年的销售量y(万件)关于x(元)的函数关系式为y＝500e40－x.

所以L(x)＝(x－30－a)y＝500(x－30－a)e40－x(35≤x≤41)．

(2)由(1)得，L′(x)＝500[e40－x－(x－30－a)e40－x]＝500e40－x(31＋a－x)．

①当2≤a≤4时，L′(x)≤500e40－x(31＋4－35)＝0，

当且仅当a＝4，x＝35时取等号．

所以L(x)在[35，41]上单调递减．

因此，L(x)max＝L(35)＝500(5－a)e5.

②当4<a≤5时，L′(x)>035≤x<31＋a，

L′(x)<031＋a<x≤41.

所以L(x)在[35，31＋a)上单调递增，在[31＋a，41]上单调递减．

因此，L(x)max＝L(31＋a)＝500e9－a.

综上所述当2≤a≤4时，每件产品的售价为35元，该产品一年的利润L(x)最大，最大为500(5－a)e5万元；

当4<a≤5时，每件产品的售价为(31＋a)元时，该产品一年的利润L(x)最大，最大为500e9－a万元．