【题目】已知函数,
,其中
为自然对数的底数.
(Ⅰ)求曲线在点
处的切线方程;
(Ⅱ)若对任意,不等式
恒成立,求实数
的取值范围;
(Ⅲ)试探究当时,方程
的解的个数,并说明理由.
【答案】(Ⅰ) ;(Ⅱ)
;(Ⅲ)答案见解析.
【解析】试题分析:本题主要考查导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的切线方程、利用导数求函数的最值等基础知识,考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问,先利用诱导公式化简,再对
求导,
为切点的纵坐标,
为切线的斜率,最后利用点斜式求曲线的切线;第二问,将对任意
,不等式
恒成立,转化为
, 构造函数
对
求导,判断函数的单调性,求最小值,代入到
中即可;第三问,分情况讨论,对
求导,利用导数判断函数的单调性,再验证区间端点纵坐标的正负来决定函数
的一个零点.
试题解析:(1)依题意得,
,
.
所以曲线在点
处的切线方程为
. 4分
(2)等价于对任意,
.5分
设,
.
则
因为,所以
,
所以,故
在
单调递增, 6分
因此当时,函数
取得最小值
; 7分
所以,即实数
的取值范围是
.8分
(3)设,
.
①当时,由(2)知,函数
在
单调递增,
故函数在
至多只有一个零点,
又,而且函数
图象在
上是连续不断的,
因此,函数在
上有且只有一个零点.10分
②当时,
恒成立.证明如下:
设,则
,所以
在
上单调递增,
所以时,
,所以
,
又时,
,所以
,即
,即
.
故函数在
上没有零点.11分
③当时,
,所以函数
在
上单调递减,故函数
在
至多只有一个零点,
又,而且函数
在
上是连续不断的,
因此,函数在
上有且只有一个零点.13分
综上所述, 时,方程
有两个解.14分
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【题目】在中,已知
,分别根据下列条件求
(精确到0.01°).
(1)①;②
;③
;④
;⑤
;
(2)根据上述计算结果,讨论使有一个解、两个解、无解时,
的取值情况.
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【题目】如图的折线图为某小区小型超市今年一月份到五月份的营业额和支出数据(利润=营业额-支出),根据折线图,下列说法中正确的是( )
A.该超市这五个月中,利润随营业额的增长在增长
B.该超市这五个月中,利润基本保持不变
C.该超市这五个月中,三月份的利润最高
D.该超市这五个月中的营业额和支出呈正相关
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【题目】某学校微信公众号收到非常多的精彩留言,学校从众多留言者中抽取了100人参加“学校满意度调查”,其留言者年龄集中在之间,根据统计结果,做出频率分布直方图如下:
(1)求这100位留言者年龄的平均数和中位数;
(2)学校从参加调查的年龄在和
的留言者中,按照分层抽样的方法,抽出了6人参加“精彩留言”经验交流会,赠与年龄在
的留言者每人一部价值1000元的手机,年龄在
的留言者每人一套价值700元的书,现要从这6人中选出3人作为代表发言,求这3位发言者所得纪念品价值超过2300元的概率.
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【题目】(1)如图(1)所示,椭圆的中心在原点,焦点F1、F2在x轴上,A、B是椭圆的顶点,P是椭圆上一点,且PF1⊥x轴,PF2∥AB,求此椭圆的离心率;
(2)如图(2)所示,双曲线的一个焦点为F,虚轴的一个端点为B,如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直,求此双曲线的离心率.
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【题目】“中国人均读书4.3本(包括网络文学和教科书),比韩国的11本.法国的20本.日本的40本.犹太人的64本少得多,是世界上人均读书最少的国家.”这个论断被各种媒体反复引用.出现这样的统计结果无疑是令人尴尬的,而且和其他国家相比,我国国民的阅读量如此之低,也和我国是传统的文明古国.礼仪之邦的地位不相符.某小区为了提高小区内人员的读书兴趣,特举办读书活动,准备进一定量的书籍丰富小区图书站,由于不同年龄段需看不同类型的书籍,为了合理配备资源,现对小区内看书人员进行年龄调查,随机抽取了一天名读书者进行调查,将他们的年龄分成6段:
,
,
,
,
,
后得到如图所示的频率分布直方图.问:
(1)估计在40名读书者中年龄分布在的人数;
(2)求40名读书者年龄的平均数和中位数;
(3)若从年龄在的读书者中任取2名,求恰有1名读书者年龄在
的概率.
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【题目】已知函数
(1) 求函数的反函数
;
(2)试问:函数的图象上是否存在关于坐标原点对称的点,若存在,求出这些点的坐标;若不存在,说明理由;
(3)若方程的三个实数根
满足:
,且
,求实数
的值.
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