Question

已知函数f（x）=

4x-a

1+x2

在区间[m，n]上为增函数，
（I）若m=0，n=1时，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若f（m）f（n）=-4．则当f（n）-f（m）取最小值时，
（i）求实数a的值；
（ii）若P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）（a＜x₁＜x₂＜n）是f（x）图象上的两点，且存在实数x₀∈（a，n）使得f′（x₀）=

f(x2)-f(x1)

x2-x1

，证明：x₁＜x₀＜x₂．

Answer 1

分析：（I）由题意可得可得 f′（x）=

4(1+x2)-2x(4x-a)

(1+x2)2

=

-2(2x2-ax-2)

(1+x2)2

在区间[0，1]上恒正，故有

f′(0)≥0 f′(1)≥0

，由此求得实数a的取值范围
（Ⅱ）（i）因为f（n）-f（m）=f（n）+[-f（m）]≥2

f(n)[-f(m)]

=2

4

=4，当且仅当f（n）=-f（m）=2时等号成立，由此求得a的值．

（ii）先求得f′（x₀）=

4(1-x02)

(1+x02)2

，

f(x2)-f(x1)

x2-x1

=

4(1-x1•x2)

(1+x12)(1+x22)

，可得

(1-x02)

(1+x02)2

=

1-x1•x2

(1+x12)(1+x22)

．欲证x₁＜x₀＜x₂，先用作差法求得

(1-x02)

(1+x02)2

＜

(1-x12)

(1+x12)2

．另一方面，根据

(1-x02)

(1+x02)2

-

(1-x12)

(1+x12)2

=

(x12-x02)[ 3+x12+x02-x12•x02]

(1+x02)(1+x12)

，可得x₁²-x₀²＜0，即x₁＜|x₀|．
同理可证x₀＜x₂，因此x₁＜|x₀|＜x₂．

解答：解：（I）若m=0，n=1，由已知函数f（x）=

4x-a

1+x2

  在区间[0，1]上为增函数，
可得 f′（x）=

4(1+x2)-2x(4x-a)

(1+x2)2

=

-2(2x2-ax-2)

(1+x2)2

 在区间[0，1]上恒正，
故有

f′(0)≥0 f′(1)≥0

，解得a≥0，故实数a的取值范围为[0，+∞）．
（Ⅱ）（i）因为f（n）-f（m）=f（n）+[-f（m）]≥2

f(n)[-f(m)]

=2

4

=4，当且仅当f（n）=-f（m）=2时等号成立．
由f（n）=

4n-a

1+n2

，有-a=2（n-1）²≥0，得a≤0； 由f（m）=

4m-a

1+m2

，有a=2（m+1）²≥0，得a≥0；（10分）
故f（n）-f（m）取得最小值时，a=0，n=1．
（ii）此时，f′（x₀）=

4(1-x02)

(1+x02)2

，

f(x2)-f(x1)

x2-x1

=

4(1-x1•x2)

(1+x12)(1+x22)

，
由f′（x₀）=

f(x2)-f(x1)

x2-x1

，可得

(1-x02)

(1+x02)2

=

1-x1•x2

(1+x12)(1+x22)

．
欲证x₁＜x₀＜x₂，先比较

(1-x02)

(1+x02)2

 与

(1-x12)

(1+x12)2

 的大小．
由于 

(1-x02)

(1+x02)2

-

(1-x12)

(1+x12)2

=

1-x1•x2

(1+x12)(1+x22)

-

(1-x12)

(1+x12)2

=

(x1-x2)(2x1+x2-x12 •x2)

(1+x12)(1+x22)

=

(x1-x2)[x1(2-x1•x2) x2]

(1+x12)(1+x22)

．

因为0＜x₁＜x₂＜1，所以0＜x₁x₂＜1，有x₁（2-x₁x₂）+x₂＞0，
于是（x₁-x₂）[x₁（2-x₁x₂）+x₂]＜0，即

(1-x02)

(1+x02)2

-

(1-x12)

(1+x12)2

＜0．
另一方面，

(1-x02)

(1+x02)2

-

(1-x12)

(1+x12)2

=

(x12-x02)[ 3+x12+x02-x12•x02]

(1+x02)(1+x12)

，

因为0＜x₁²x₀²＜1，所以3+x₁²+x₀²-x₁²x₀²＞0，从而x₁²-x₀²＜0，即x₁＜|x₀|．
同理可证x₀＜x₂，因此x₁＜|x₀|＜x₂．

点评：本题主要考查导数在研究单调性，求最值，比较大小中的应用，属于中档题．