Question

【题目】已知椭圆 过点，且离心率.

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线与椭圆交于不同的两点，且线段的垂直平分线过定点，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或.

【解析】试题分析：（1）由离心率得到a，c，b的关系，进一步把椭圆方程用含有c的代数式表示，再结合点在椭圆上求得c，则椭圆方程可求；（2）设出M，N的坐标，联立直线方程和椭圆方程，由判别式大于0得到，再结合根与系数关系得到MN中点P的坐标为．求出MN的垂直平分线l'方程，由P在l'上，得到,再结合求得k的取值范围．

试题解析：（1）离心率，∴，即（1）

又椭圆过点，则，（1）式代入上式，解得： ， ，椭圆方程为

（2）设，弦的中点

由，得： ，

直线与椭圆交于不同的两点，

∴，即，（1）

由韦达定理得： ， ，

则， ，

直线的斜率为： ，

由直线和直线垂直可得： ，即，代入（1）式，

可得： ，即，则或.