Question

20．已知数列{a_n}，{b_n}，{c_n}，满足a₁=8，b₁=10，c₁=6，且a_n+1=a_n，b_n+1=$\frac{{c}_{n}+{a}_{n}}{2}$，c_n+1=$\frac{{b}_{n}+{a}_{n}}{2}$，则b_n=2×（-$\frac{1}{2}$）^n-1+8．

Answer 1

分析 由条件可知a_n=8，b_n+1=$\frac{{c}_{n}}{2}$+4，c_n+1=$\frac{{b}_{n}}{2}$+4，两式相减求得c_n+1-b_n+1=-$\frac{1}{2}$（c_n-b_n），c₁-b₁=-4，{c_n-b_n}是以-4为首项，以-$\frac{1}{2}$为公比的等比数列，求得通项公式；两式相加，利用数学归纳法证明：c_n+b_n=16，将c_n=16-b_n代入通项公式，即可求得b_n．

解答 解：由a₁=8，a_n+1=a_n=8，
b_n+1=$\frac{{c}_{n}+{a}_{n}}{2}$=$\frac{{c}_{n}}{2}$+4，
c_n+1=$\frac{{b}_{n}+{a}_{n}}{2}$=$\frac{{b}_{n}}{2}$+4，
∴c_n+1-b_n+1=-$\frac{1}{2}$（c_n-b_n），
c₁-b₁=6-10=-4，
∴{c_n-b_n}是以-4为首项，以-$\frac{1}{2}$为公比的等比数列，
c_n-b_n=（-4）×（-$\frac{1}{2}$）^n-1，
c_n+1+b_n+1=$\frac{1}{2}$（c_n+b_n）+8，
∵c₁+b₁=16，
∴c₂+b₂=16，
c₃+b₃=16，
猜想：c_n+b_n=16，
用数学归纳法证明：
①当n=1时，c₁+b₁=16，结论成立，
②假设当n=k时结论成立，即c_k+b_k=16，
那么当n=k+1时，c_k+1+b_k+1=$\frac{1}{2}$（c_k+b_k）+8=16，即当n=k+1时结论也成立，
由①②得：当n=N^*时，c_n+b_n=16恒成立，
将c_n=16-b_n代入c_n-b_n=（-4）×（-$\frac{1}{2}$）^n-1，
解得：b_n=2×（-$\frac{1}{2}$）^n-1+8，
故答案为：b_n=2×（-$\frac{1}{2}$）^n-1+8．

点评 本题考查求等比数列通项公式，考查数学归纳法证明等式成立，综合能力较强，考查学生分析问题及解决问题的能力，属于中档题．