Question

设函数f(x)=x3-

9

2

x2+6x-a．
（1）对于任意实数x，f′（x）≥m在（1，5]恒成立（其中f′（x）表示f（x）的导函数），求m的最大值；
（2）若方程f（x）=0在R上有且仅有一个实根，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）f′（x）≥m在（1，5]恒成立，等价于m≤3x²-9x+6在（1，5]恒成立，等价于m≤（3x²-9x+6）_min，根据二次函数的性质即可求得其最小值；
（2）结合图象，方程f（x）=0在R上有且仅有一个实根，等价于函数f（x）只有一个零点，利用导数求出函数f（x）的极大值、极小值，只需令极大值小于0或极小值大于0即可；

解答：解：（1）f′（x）=3x²-9x+6，
f′（x）≥m在（1，5]恒成立，等价于m≤3x²-9x+6在（1，5]恒成立，
由f′（x）=3x²-9x+6=3(x-

3

2

)2-

3

4

在[1，5]上的最小值为-

3

4

，
所以m≤-

3

4

，即m的最大值为-

3

4

．
（2）f′（x）=3x²-9x+6=3（x-1）（x-2），
当x＜1或x＞2时f′（x）＞0，当1＜x＜2时f′（x）＜0，
所以函数f（x）在（-∞，1）和（2，+∞）上单调递增，在（1，2）上单调递减，
所以f（x）_极大值=f（1）=

5

2

-a，f（x）_极小值=f（2）=2-a，
故当f（1）＜0或f（2）＞0时，方程f（x）=0在R上有且仅有一个实根，解得a＞

5

2

或a＜2，
所以所求a的取值范围为：（-∞，2）∪（

5

2

，+∞）．

点评：本题考查利用导数求函数的最值、函数恒成立及函数的零点，考查转化思想、数形结合思想，考查学生分析解决问题的能力，恒成立问题常转化为函数最值问题解决，而方程根的个数可转化为函数零点解决．