Question

1．已知函数f（x）=ln（2ax+1）+$\frac{{x}^{3}}{3}$-x²（a∈R）
（1）若y=f（x）在[2，+∞）上为增函数，求实数a的取值范围；
（2）当a=-$\frac{1}{2}$时，方程f（1-x）=$\frac{（1-x）^{3}}{3}$+$\frac{b}{x}$+x-1有实根，求实数b的最大值．

Answer 1

分析 （1）y=f（x）在[2，+∞）上为增函数，等价于f′（x）=$\frac{2a}{2ax+1}$+x²-2x≥0且2ax+1＞0在[2，+∞）上恒成立，分类讨论，满足条件的a值，综合讨论结果，从而可求实数a的取值范围；
（2）当a=-$\frac{1}{2}$时，方程f（1-x）=$\frac{（1-x）^{3}}{3}$+$\frac{b}{x}$+x-1实根，等价于b=xlnx+x²-x³在（0，+∞）上有解，即求g（x）=xlnx+x²-x³的值域．构造h（x）=lnx+x-x²（x＞0），证明h（x）在（0，1）上为增函数，在（1，+∞）上为减函数，即可得出结论．

解答 解：（1）因为函数y=f（x）在[2，+∞）上为增函数，
所以f′（x）=$\frac{2a}{2ax+1}$+x²-2x≥0且2ax+1＞0在[2，+∞）上恒成立，
当a=0时，f′（x）=x（x-2）≥0且1＞0在[2，+∞）上恒成立，
故a=0符合题意；
当a≠0时，由2ax+1＞0对x≥2恒成立，故只能a＞0，
此时f′（x）=$\frac{2a}{2ax+1}$+x²-2x≥0恒成立；
综上可得：a∈[0，+∞）；
（2）当a=-$\frac{1}{2}$时，方程f（1-x）=$\frac{（1-x）^{3}}{3}$+$\frac{b}{x}$+x-1可化为：lnx-（1-x）²+（1-x）=$\frac{b}{x}$，
则b=xlnx-x（1-x）²+x（1-x）=xlnx+x²-x³在（0，+∞）上有解，
令函数g（x）=xlnx+x²-x³=x（lnx+x-x²），
h（x）=lnx+x-x²，则h′（x）=$\frac{1}{x}$+1-2x=$\frac{（2x+1）（1-x）}{x}$
∴0＜x＜1时，h′（x）＞0，从而h（x）在（0，1）上为增函数，
当x＞1时h′（x）＜0，从而h（x）在（1，+∞）上为减函数，
∴h（x）≤h（1）=0，
∵x＞0，
∴b=xh（x）≤0，
∴x=1时，b取得最大值0．

点评 本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，考查函数的最值，构建函数是关键，也是难点．