Question

【题目】如图，在四棱柱中，底面ABCD是等腰梯形，，，，顶点在底面ABCD内的射影恰为点C.

（1）求证：BC⊥平面ACD1；

（2）若直线DD1与底面ABCD所成的角为，求平面与平面ABCD所成锐二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】

（1）连接，则平面ABCD，推导出，连接AC，过点C作CG⊥AB于点G，推导出BC⊥AC，由此能证明BC⊥平面ACD1;
（2）以C为坐标原点，分别以CA，CB，CD1，所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面与平面ABCD所成锐二面角的余弦值．

解：（1）证明：如图，连接，则平面ABCD，

，

在等腰梯形ABCD中，连接AC，过点C作于点G，

，

则

因此满足

又，面，

平面

（2）由（1）知两两垂直，

平面

以C为坐标原点，分别以所在直线为x轴，y轴，z轴，

建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，

，

设平面的法向量，

由，得，

可得平面的一个法向量，

又为平面ABCD的一个法向量，

设平面与平面ABCD所成锐二面角为θ，

则，

因此平面与平面ABCD所成锐二面角的余弦值为．