Question

（本小题满分12分）已知四棱锥P—ABCD，

底面ABCD是菱形，平面ABCD，PD=AD，点E为AB中点，点F为PD中点。   （1）证明平面PED⊥平面PAB；   （2）求二面角P—AB—F的平面角的余弦值。

Answer 1

(Ⅰ)    (Ⅱ)   （Ⅲ）

解析:

解法一（1）证明：连接BD.

为等边三角形.

是AB中点，

面ABCD，AB面ABCD，

面PED，PD面PED，面PED。

面PAB，面PAB.

（2）解：平面PED，PE面PED，

连接EF，PED，

为二面角P—AB—F的平面角. 

设AD=2，那么PF=FD=1，DE=.   

在    

   

即二面角P—AB—F的平面角的余弦值为

解法二：如图连结DE，则DE⊥DC，则可以以D为坐标原点，DE，DC，DP所在直线分别为x、y，z轴建立空间直角坐标系，设菱形ABCD的长为a，则:，

则P(0，0，)，F(0，0，)，A()，B()，()，()，(0，，0)

设平面的法向量为，平面的法向量为

，令，可得

，令，可得

显然，二面角P-AB-F的平面角是锐角与大小相等，

即二面角P-AB-F的平面角的余弦值为