Question

已知函数y=f（x），若存在x₀，使得f（x₀）=x₀，则x₀称是函数y=f（x）的一个不动点，设f(x)=

-2x+3

2x-7

．
（1）求函数y=f（x）的不动点；
（2）对（1）中的二个不动点a、b（假设a＞b），求使

f(x)-a

f(x)-b

=k•

x-a

x-b

恒成立的常数k的值；
（3）对由a₁=1，a_n=f（a_n-1）定义的数列{a_n}，求其通项公式a_n．

Answer 1

分析：（1）设函数y=f（x）的一个不动点为x₀，然后根据不动点的定义建立方程，解之即可；
（2）由（1）可知a=3，b=

1

2

，代入

f(x)-a

f(x)-b

=k•

x-a

x-b

可求出常数k的值；
（3）由（2）可知数列{

an-3

an+ 1 2

}是以

a1-3

a1+ 1 2

为首项，8为公比的等比数列，然后求出通项，即可求出数列{a_n}的 通项公式．

解答：解：（1）设函数y=f（x）的一个不动点为x₀，
则

-2x0+3

2x0-7

=x0，解得x0=-

1

2

，x0=3
（2）由（1）可知a=3，b=-

1

2

，

-2x+3 2x-7 -3

-2x+3 2x-7 + 1 2

=

-8x+24

-x- 1 2

=8•

x-3

x+ 1 2

可知使

f(x)-a

f(x)-b

=k•

x-a

x-b

恒成立的常数k=8．
（3）由（2）知

an-3

an+ 1 2

=8

an-1-3

an-1+ 1 2

可知数列{

an-3

an+ 1 2

}是以

a1-3

a1+ 1 2

为首项，8为公比的等比数列
即以-

4

3

为首项，8为公比的等比数列．则

an-3

an+ 1 2

=-

4

3

•8n-1
∴an=

3- 1 2 • 4 3 •8n-1

1+ 4 3 •8n-1

=

9-2•8n-1

3+4•8n-1

．

点评：本题主要考查了函数恒成立问题，以及等比数列求通项，同时考查了前后问题之间的联系，属于中档题．