Question

证明：（1）对于任意n≥3，n∈N^*，

1

1

+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＞

n+1

；
（2）对于任意n≥2，n∈N^*，

1

12

+

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

＜2-

1

n

．

Answer 1

考点：不等式的证明

专题：证明题

分析：（1）利用

1

n

＞

2

n + n+1

=2（

n+1

-

n

），累加所证不等式的左端，即可证得原不等式成立；
（2）利用当n≥2时，

1

n2

＜

1

n(n-1)

=

1

n-1

-

1

n

，累加所证不等式的左端，即可证得原不等式成立．

解答： 证明：（1）∵

1

n

=

2

2 n

＞

2

n + n+1

=2（

n+1

-

n

），
∴

1

1

+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＞

1

1

+

1

2

+2[（

4

-

3

）+（

5

-

4

）+…+（

n+1

-

n

）]
=

1

1

+

1

2

+2（

n+1

-

3

）=

n+1

+（1+

2

2

+

n+1

-

3

），
∵n≥3，n∈N^*，
∴1+

2

2

+

n+1

-

3

＞0，
∴对于任意n≥3，n∈N^*，

1

1

+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＞

n+1

；
（2）∵当n≥2时，

1

n2

＜

1

n(n-1)

=

1

n-1

-

1

n

，
∴

1

12

+

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

＜

1

12

+[（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n-1

-

1

n

）]
=1+（1-

1

n

）=2-

1

n

，
即对于任意n≥2，n∈N^*，

1

12

+

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

＜2-

1

n

．

点评：本题考查不等式的证明，着重考查放缩法与裂项法的综合应用，考查推理论证能力，属于中档题．