Question

设直线l：y=x+1与椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)相交于A、B两个不同的点，与x轴相交于点F．
（Ⅰ）证明：a²+b²＞1；
（Ⅱ）若F是椭圆的一个焦点，且

AF

=2

FB

，求椭圆的方程．

Answer 1

分析：（I）将直线方程代入椭圆方程消去x，利用判别式大于0求得a和b不等式关系，原式得证．
（II）设出A，B的坐标，利用韦达定理表示出y₁+y₂和y₁y₂，根据

AF

=2

FB

求得y₁和y₂的关系式，进而联立y₁+y₂和y₁y₂的表达式求得a和b的关系式，直线L的方程求得F的坐标，进而求得椭圆方程中的c，最后联立求得a和b，则椭圆的方程可得．

解答：证明：（Ⅰ）将y=x+1代入

x2

a2

+

y2

b2

=1，消去x，得（a²+b²）y²-2b²y+b²（1-a²）=0①
由直线l与椭圆相交于两个不同的点，得△=4b⁴-4b²（a²+b²）（1-a²）=4a²b²（a²+b²-1）＞0
所以a²+b²＞1．
（Ⅱ）解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由①，得y1+y2=

2b2

a2+b2

，y1y2=

b2(1-a2)

a2+b2

因为

AF

=2

FB

，得y₁=-2y₂
所以，y1+y2=

2b2

a2+b2

=-y2，y1y2=

b2(1-a2)

a2+b2

=-2

y

2 2

消去y₂，得

b2(1-a2)

a2+b2

=-2(

2b2

a2+b2

)2
化简，得（a²+b²）（a²-1）=8b²
若F是椭圆的一个焦点，则c=1，b²=a²-1，
代入上式，解得a2=

9

2

，b2=

7

2

，
所以，椭圆的方程为：

2x2

9

+

2y2

7

=1．

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．解决此类题要充分发挥判别式和韦达定理在解题中的作用．灵活应用数形结合的思想、函数思想、等价转化思想、分类讨论思想解题．